在數學 和信號處理 中，解析信號 （英語：analytic signal 負頻率 [ 1] 希爾伯特轉換 相關聯的實值函數。
實值 函數的解析表示 是解析信號 ，包含原始函數和它的希爾伯特變換。這種表示促進了許多數學變換的發展。基本的想法是，由於頻譜的埃爾米特對稱 ，實值函數的傅里葉變換 （或頻譜 ）的負頻率成分是多餘的。若是不介意處理復值函數的話，這些負頻率分量可以丟棄而不損失信息。這使得函數的特定屬性更易理解，並促進了調製和解調技術的衍生，如單邊帶。只要操作的函數沒有負頻率分量（也就是它仍是「解析函數」），從複數轉換回實數就只需要丟棄虛部。解析表示是向量 概念的一個推廣：[ 2]
創建一個解析信號的傳遞函數 若
s
(
t
)
{\displaystyle s(t)}
實值 函數，其傅里葉變換為
S
(
f
)
{\displaystyle S(f)}
S
(
f
)
{\displaystyle S(f)}
f
=
0
{\displaystyle f=0}
埃爾米特 對稱之函數：
S
(
−
f
)
=
S
(
f
)
∗
,
{\displaystyle S(-f)=S(f)^{*},}
S
(
f
)
∗
{\displaystyle S(f)^{*}}
S
(
f
)
{\displaystyle S(f)}
復共軛 。函數：
S
a
(
f
)
=
d
e
f
{
2
S
(
f
)
,
for
f
>
0
,
S
(
f
)
,
for
f
=
0
,
0
,
for
f
<
0
=
2
u
(
f
)
⏟
1
+
sgn
(
f
)
S
(
f
)
=
S
(
f
)
+
sgn
(
f
)
S
(
f
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}S_{\mathrm {a} }(f)&{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\begin{cases}2S(f),&{\text{for}}\ f>0,\\S(f),&{\text{for}}\ f=0,\\0,&{\text{for}}\ f<0\end{cases}}\\&=\underbrace {2\operatorname {u} (f)} _{1+\operatorname {sgn}(f)}S(f)=S(f)+\operatorname {sgn}(f)S(f),\end{aligned}}}
其中：
u
(
f
)
{\displaystyle \operatorname {u} (f)}
單位階躍函數 ，
sgn
(
f
)
{\displaystyle \operatorname {sgn}(f)}
符號函數 ，
僅包含
S
(
f
)
{\displaystyle S(f)}
非負頻率 分量。而且由於
S
(
f
)
{\displaystyle S(f)}
S
(
f
)
=
{
1
2
S
a
(
f
)
,
for
f
>
0
,
S
a
(
f
)
,
for
f
=
0
,
1
2
S
a
(
−
f
)
∗
,
for
f
<
0
(Hermitian symmetry)
=
1
2
[
S
a
(
f
)
+
S
a
(
−
f
)
∗
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}S(f)&={\begin{cases}{\frac {1}{2}}S_{\mathrm {a} }(f),&{\text{for}}\ f>0,\\S_{\mathrm {a} }(f),&{\text{for}}\ f=0,\\{\frac {1}{2}}S_{\mathrm {a} }(-f)^{*},&{\text{for}}\ f<0\ {\text{(Hermitian symmetry)}}\end{cases}}\\&={\frac {1}{2}}[S_{\mathrm {a} }(f)+S_{\mathrm {a} }(-f)^{*}].\end{aligned}}}
s
(
t
)
{\displaystyle s(t)}
解析信號 是
S
a
(
f
)
{\displaystyle S_{\mathrm {a} }(f)}
s
a
(
t
)
=
d
e
f
F
−
1
[
S
a
(
f
)
]
=
F
−
1
[
S
(
f
)
+
sgn
(
f
)
⋅
S
(
f
)
]
=
F
−
1
{
S
(
f
)
}
⏟
s
(
t
)
+
F
−
1
{
sgn
(
f
)
}
⏟
j
1
π
t
∗
F
−
1
{
S
(
f
)
}
⏟
s
(
t
)
⏞
c
o
n
v
o
l
u
t
i
o
n
=
s
(
t
)
+
j
[
1
π
t
∗
s
(
t
)
]
⏟
H
[
s
(
t
)
]
=
s
(
t
)
+
j
s
^
(
t
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}s_{\mathrm {a} }(t)&{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {F}}^{-1}[S_{\mathrm {a} }(f)]\\&={\mathcal {F}}^{-1}[S(f)+\operatorname {sgn}(f)\cdot S(f)]\\&=\underbrace {{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}} _{s(t)}+\overbrace {\underbrace {{\mathcal {F}}^{-1}\{\operatorname {sgn}(f)\}} _{j{\frac {1}{\pi t}}}*\underbrace {{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}} _{s(t)}} ^{convolution}\\&=s(t)+j\underbrace {\left[{1 \over \pi t}*s(t)\right]} _{\operatorname {\mathcal {H}} [s(t)]}\\&=s(t)+j{\hat {s}}(t),\end{aligned}}}
其中
s
^
(
t
)
=
d
e
f
H
[
s
(
t
)
]
{\displaystyle {\hat {s}}(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}\operatorname {\mathcal {H}} [s(t)]}
s
(
t
)
{\displaystyle s(t)}
希爾伯特轉換 ；
∗
{\displaystyle *}
卷積 符號；
j
{\displaystyle j}
虛數單位 。
s
(
t
)
=
cos
(
ω
t
)
,
{\displaystyle s(t)=\cos(\omega t),}
ω
>
0.
{\displaystyle \omega >0.}
於是：
s
^
(
t
)
=
cos
(
ω
t
−
π
/
2
)
=
sin
(
ω
t
)
,
{\displaystyle {\hat {s}}(t)=\cos(\omega t-\pi /2)=\sin(\omega t),}
s
a
(
t
)
=
s
(
t
)
+
j
s
^
(
t
)
=
cos
(
ω
t
)
+
j
sin
(
ω
t
)
=
e
j
ω
t
.
{\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)=s(t)+j{\hat {s}}(t)=\cos(\omega t)+j\sin(\omega t)=e^{j\omega t}.}
歐拉公式 。歐拉公式 的一個推論是
cos
(
ω
t
)
=
1
2
(
e
j
ω
t
+
e
j
(
−
ω
)
t
)
.
{\displaystyle \cos(\omega t)={\tfrac {1}{2}}(e^{j\omega t}+e^{j(-\omega )t}).}
負頻率
這裡我們使用歐拉公式來識別並丟棄負頻率。
s
(
t
)
=
cos
(
ω
t
+
θ
)
=
1
2
(
e
j
(
ω
t
+
θ
)
+
e
−
j
(
ω
t
+
θ
)
)
{\displaystyle s(t)=\cos(\omega t+\theta )={\tfrac {1}{2}}(e^{j(\omega t+\theta )}+e^{-j(\omega t+\theta )})}
於是：
s
a
(
t
)
=
{
e
j
(
ω
t
+
θ
)
=
e
j
|
ω
|
t
⋅
e
j
θ
,
if
ω
>
0
,
e
−
j
(
ω
t
+
θ
)
=
e
j
|
ω
|
t
⋅
e
−
j
θ
,
if
ω
<
0.
{\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)={\begin{cases}e^{j(\omega t+\theta )}\ \ =\ e^{j|\omega |t}\cdot e^{j\theta },&{\text{if}}\ \omega >0,\\e^{-j(\omega t+\theta )}=\ e^{j|\omega |t}\cdot e^{-j\theta },&{\text{if}}\ \omega <0.\end{cases}}}
這是使用希爾伯特變換方法去除負頻率分量的另一個例子。我們注意到，對於復值函數
s
(
t
)
{\displaystyle s(t)}
s
a
(
t
)
{\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)}
s
(
t
)
{\displaystyle s(t)}
s
(
t
)
=
e
−
j
ω
t
{\displaystyle s(t)=e^{-j\omega t}}
ω
>
0
{\displaystyle \omega >0}
於是：
s
^
(
t
)
=
j
e
−
j
ω
t
,
{\displaystyle {\hat {s}}(t)=je^{-j\omega t},}
s
a
(
t
)
=
e
−
j
ω
t
+
j
2
e
−
j
ω
t
=
e
−
j
ω
t
−
e
−
j
ω
t
=
0.
{\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)=e^{-j\omega t}+j^{2}e^{-j\omega t}=e^{-j\omega t}-e^{-j\omega t}=0.}
一個函數（藍色）和它的解析表示的模（紅），顯示出包絡現象。 解析信號也可以表示在其隨時間變化的幅度和相位（極坐標 ）：
s
a
(
t
)
=
s
m
(
t
)
e
j
ϕ
(
t
)
,
{\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)=s_{\mathrm {m} }(t)e^{j\phi (t)},}
其中：
s
m
(
t
)
=
d
e
f
|
s
a
(
t
)
|
{\displaystyle s_{\mathrm {m} }(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}|s_{\mathrm {a} }(t)|}
瞬時振幅 或包絡
ϕ
(
t
)
=
d
e
f
arg
[
s
a
(
t
)
]
{\displaystyle \phi (t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}\arg \!\left[s_{\mathrm {a} }(t)\right]}
瞬時相位 在附圖中，藍色曲線描繪
s
(
t
)
{\displaystyle s(t)}
s
m
(
t
)
{\displaystyle s_{\mathrm {m} }(t)}
解纏的 瞬時相位的時間導數的單位為rad/s，稱作瞬時角頻率 ：
ω
(
t
)
=
d
e
f
d
ϕ
d
t
(
t
)
.
{\displaystyle \omega (t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\frac {d\phi }{dt}}(t).}
因此，瞬時頻率 赫茲 ）為：
f
(
t
)
=
d
e
f
1
2
π
ω
(
t
)
.
{\displaystyle f(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\frac {1}{2\pi }}\omega (t).}
[ 3] 瞬時振幅、瞬時相位與頻率在一些應用中用於測量和檢測的信號的局部特徵。信號的解析表示的另一個應用與調製信號 的解調有關。極坐標方便將振幅調變 和相位（或頻率）調製的影響分開，對解調某些種類的信號很有效。
解析信號通常都會在頻率上移位（下轉換）到 0 Hz，可能會產生[非對稱]負頻率分量：
s
a
_
(
t
)
=
d
e
f
s
a
(
t
)
e
−
j
ω
0
t
=
s
m
(
t
)
e
j
(
ϕ
(
t
)
−
ω
0
t
)
,
{\displaystyle {\underline {s_{\mathrm {a} }}}(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}s_{\mathrm {a} }(t)e^{-j\omega _{0}t}=s_{\mathrm {m} }(t)e^{j(\phi (t)-\omega _{0}t)},}
其中
ω
0
{\displaystyle \omega _{0}}
[ 2]
這個函數有不同的名稱，如復包絡 和復基帶 。復包絡不是唯一的；它是由
ω
0
{\displaystyle \omega _{0}}
帶通信號
s
(
t
)
{\displaystyle s(t)}
ω
0
{\displaystyle \omega _{0}}
載波頻率
在其他情況下，
ω
0
{\displaystyle \omega _{0}}
低通濾波器 就可以去除感興趣的部分。另一個動機是減少最高頻率，從而降低最小的無混疊採樣率。頻移不加大覆信號表示的數學處理難度。因此從這個意義上說，下轉換的信號仍然是解析信號 。但是恢復實值表示不再是簡簡單單提取實部的問題了。為了避免混疊 可能需要上轉換，若信號已被（離散時間）採樣 ，還可能需要插值 （升採樣 ）。
若選取的
ω
0
{\displaystyle \omega _{0}}
s
a
(
t
)
{\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)}
s
a
_
(
t
)
{\displaystyle {\underline {s_{\mathrm {a} }}}(t)}
下邊帶 的單邊帶 信號。
參考頻率的其他選擇： 有時
ω
0
{\displaystyle \omega _{0}}
∫
0
+
∞
(
ω
−
ω
0
)
2
|
S
a
(
ω
)
|
2
d
ω
.
{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }(\omega -\omega _{0})^{2}|S_{\mathrm {a} }(\omega )|^{2}\,d\omega .}
另外，[ 4]
ω
0
{\displaystyle \omega _{0}}
解纏的 瞬時相位
ϕ
(
t
)
{\displaystyle \phi (t)}
∫
−
∞
+
∞
[
ω
(
t
)
−
ω
0
]
2
|
s
a
(
t
)
|
2
d
t
{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }[\omega (t)-\omega _{0}]^{2}|s_{\mathrm {a} }(t)|^{2}\,dt}
再或者（對最佳
θ
{\displaystyle \theta }
∫
−
∞
+
∞
[
ϕ
(
t
)
−
(
ω
0
t
+
θ
)
]
2
d
t
.
{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }[\phi (t)-(\omega _{0}t+\theta )]^{2}\,dt.}
在信號處理領域，維格納–威利分布 定義中需要解析信號，因此該方法在實際應用中具有理想特性。[ 5]
有時復包絡與復振幅 同義；[ a] [ b] [ c] 包絡 振幅 。
^ "the complex envelope (or complex amplitude)"[ 6]
^ "the complex envelope (or complex amplitude)", p.586 [ 7]
^ "Complex envelope is an extended interpretation of complex amplitude as a function of time." p.85[ 8]
^ ``Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT), with Audio Applications --- Second Edition, by Julius O. Smith III, W3K Publishing, 2007, ISBN 978-0-9745607-4-8 . Copyright © 2014-04-21 by Julius O. Smith III
Center for Computer Research in Music and Acoustics (CCRMA), Stanford University, https://ccrma.stanford.edu/~jos/r320/Analytic_Signals_Hilbert_Transform.html （頁面存檔備份 ，存於網際網路檔案館 ）[7/16/2014 1:07:57 PM]
^ 2.0 2.1 Bracewell, Ron. The Fourier Transform and Its Applications . McGraw-Hill, 1965. p269
^ B. Boashash, "Estimating and Interpreting the Instantaneous Frequency of a Signal-Part I: Fundamentals", Proceedings of the IEEE, Vol. 80, No. 4, pp. 519-538, April 1992
^ Justice, J. Analytic signal processing in music computation . IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing. 1979-12-01, 27 (6): 670–684 [2016-08-05 ] . ISSN 0096-3518 doi:10.1109/TASSP.1979.1163321 存檔 於2014-10-20）. ^ B. Boashash, 「Notes on the use of the Wigner distribution for time frequency signal analysis」, IEEE Trans. on Acoustics, Speech, and Signal Processing , vol. 26, no. 9, 1987
^ Hlawatsch, Franz; Auger, François. Time-Frequency Analysis . John Wiley & Sons. 2013-03-01. ISBN 9781118623831（英語） . ^ Driggers, Ronald G. Encyclopedia of Optical Engineering: Abe-Las, pages 1-1024 . CRC Press. 2003-01-01 [2016-08-05 ] . ISBN 9780824742508存檔 於2014-10-21） （英語） . ^ Okamoto, Kenʼichi. Global Environment Remote Sensing . IOS Press. 2001-01-01. ISBN 9781586031015（英語） .
Leon Cohen, Time-frequency analysis , Prentice Hall, Upper Saddle River, 1995.
Frederick W. King, Hilbert Transforms , vol. II, Cambridge University Press, Cambridge, 2009.
B. Boashash, Time-Frequency Signal Analysis and Processing: A Comprehensive Reference , Elsevier Science, Oxford, 2003.
![{\displaystyle {\begin{aligned}S(f)&={\begin{cases}{\frac {1}{2}}S_{\mathrm {a} }(f),&{\text{for}}\ f>0,\\S_{\mathrm {a} }(f),&{\text{for}}\ f=0,\\{\frac {1}{2}}S_{\mathrm {a} }(-f)^{*},&{\text{for}}\ f<0\ {\text{(Hermitian symmetry)}}\end{cases}}\\&={\frac {1}{2}}[S_{\mathrm {a} }(f)+S_{\mathrm {a} }(-f)^{*}].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/641488b89157adff28b410cdd5db079397e49e42)
![{\displaystyle {\begin{aligned}s_{\mathrm {a} }(t)&{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {F}}^{-1}[S_{\mathrm {a} }(f)]\\&={\mathcal {F}}^{-1}[S(f)+\operatorname {sgn}(f)\cdot S(f)]\\&=\underbrace {{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}} _{s(t)}+\overbrace {\underbrace {{\mathcal {F}}^{-1}\{\operatorname {sgn}(f)\}} _{j{\frac {1}{\pi t}}}*\underbrace {{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}} _{s(t)}} ^{convolution}\\&=s(t)+j\underbrace {\left[{1 \over \pi t}*s(t)\right]} _{\operatorname {\mathcal {H}} [s(t)]}\\&=s(t)+j{\hat {s}}(t),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/555facdeeb8a983551c93cdac29a005618604881)
![{\displaystyle {\hat {s}}(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}\operatorname {\mathcal {H}} [s(t)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb5eb71b4428ffad1d004d4edff86f4b6553f001)
![{\displaystyle s(t)=\operatorname {Re} [s_{\mathrm {a} }(t)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01b2b0b048c344b45666f9bdb18eafbe3d9579fd)
![{\displaystyle \operatorname {Im} [s_{\mathrm {a} }(t)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a46373663e75d8458d4a3c4ed17306abbe6a2062)
![{\displaystyle \operatorname {Re} [s_{\mathrm {a} }^{*}(t)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d40821bf3a3c2ec9cea68e74480df669643cabe9)
![{\displaystyle \phi (t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}\arg \!\left[s_{\mathrm {a} }(t)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17665909218975f34e9917c7312a4d051f15afbd)
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }[\omega (t)-\omega _{0}]^{2}|s_{\mathrm {a} }(t)|^{2}\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49707ed8e6b2a70796b660e58addaa6cd63054a5)
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }[\phi (t)-(\omega _{0}t+\theta )]^{2}\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/260b4957a0fdd2b8444092dfd7fb331e169ff50d)