賦範向量空間

在數學中，賦范向量空間（英語：Normed vector space）是具有「長度」概念的向量空間。是通常的歐幾里得空間 $\mathbb {R}$ 的推廣。 $\mathbb {R}$ 中的長度被更抽象的範數替代。「長度」概念的特徵是：

零向量的長度是零，並且任意向量的長度是非負實數。
一個向量 $v$ 乘以一個標量 $a$ 時，長度應變為原向量 $v$ 的 $|a|$ （ $a$ 的絕對值）倍。
三角不等式成立。也就是說，對於兩個向量 $v$ 和 $u$ ，它們的長度和（「三角形」的兩邊和）大於 $v+u$ （第三邊）的長度。

一個把向量映射到非負實數的函數如果滿足以上性質，就叫做一個半範數；如果只有零向量的函數值是零，那麼叫做範數。擁有一個範數的向量空間叫做賦范向量空間，擁有半範數的叫做半賦范向量空間。

定義

一個半賦范向量空間（E,p）由一個向量空間 E 以及一個 E 上的半範數 p 構成。

一個賦范向量空間（E,||·||）由一個向量空間 E 以及一個 E 上的範數 ||·|| 構成。

拓撲結構

設（E,||·||）是一個賦范向量空間，那麼由範數 ||·|| 很自然地定義了一個拓撲上的距離：

\mathbb {E} \times \mathbb {E} \longrightarrow \mathbb {R}

\ (x,y)\mapsto \Vert x-y\Vert

由此就定義了一個 E 上的拓撲結構，稱為範數 ||·||誘導的自然拓撲。這也是使得函數 ||·|| 連續的最弱的拓撲。此外，這個自然拓撲和向量空間的線性結構相容，因為：

向量加法：+ 在此拓撲下是連續的，這可以由範數的三角不等式性質得出。
向量的數量乘法·在此拓撲下是連續的，這也可由範數的線性性和三角不等式性質得出。

對於半賦范向量空間，可以定義類似的函數，這時 E 成為一個半度量空間（弱於度量空間）。在其中我們也可以定義連續和收斂等概念。更抽象地說，每個半賦范向量空間都是一個拓撲空間，其拓撲結構由它的半範數誘導。

在賦范向量空間中，完備的賦范向量空間特別重要，稱為巴拿赫空間。每個賦范向量空間都是一個巴拿赫空間的稠密子空間，這個巴拿赫空間由此賦范向量空間唯一確定，稱為它的完備空間。

在拓撲的角度來說，有限維的向量空間上的任意兩個範數都是等價的，即它們誘導出相同的拓撲結構（儘管由它們各自定義的度量空間並不相同）。由於歐幾里得空間是完備的，我們可以推出每個有限維的賦范向量空間都是巴拿赫空間。實際上對自然拓撲來說，任意有限維的賦范向量空間都同胚於歐幾里得空間Rⁿ。

一個賦范向量空間被稱為局部緊緻的，如果單位球 $B={x\ |\ \Vert x\Vert \leq 1}$ 是緊集。由里斯引理（英語：Riesz's lemma）可知，一個賦范向量空間局部緊緻當且僅當它的維數有限。實際上，這個定理證明了對任意的拓撲空間（不一定是由範數誘導的度量空間）都有這個結論。

線性變換和對偶空間

在賦范向量空間之間的線性變換中，最重要的是連續線性變換，賦范向量空間和連續線性變換一起構成一個範疇。

範數自身，作為函數，是連續的。任意兩個有限維的賦范向量空間之間的線性變換也都是連續的。

兩個賦范向量空間之間的一個等距變換 f 是指使得對任意向量 v 都有||f(v)|| = ||v|| 的線性變換。保距變換總是連續的單射。如果兩個賦范向量空間之間的一個等距變換是滿射，那麼稱其為一個等距同構。兩個保距同構的賦范向量空間在拓撲的意義上可以說是相等的（擁有相同的性質；在一者中成立的命題，在另一者中也成立）。

對於在域 K 上的賦范向量空間（E,||·||），我們可以考慮它關於||·||的對偶空間 E^* ，也就是所有從 E 射到 K 的連續線性變換（一般稱為「函子」）構成的空間。對於一個函子 $\phi$ ，定義它的範數是 $|\phi (v)|$ 的上確界，其中 v 是 E 中範數為 1 的所有向量。由於函子是連續的，這個上確界存在。這樣我們就將 E^* 定義成為一個賦范向量空間。關於賦范向量空間上的連續線性函子有哈恩-巴拿赫定理。