數學中,複數輻角是指複數在複平面上對應的向量和正向實數軸所成的有向。複數的輻角值可以是一切實數,但由於相差(即弧度)的輻角在實際應用中沒有差別,所以定義複數的輻角主值為輻角)後的餘數,定義取值範圍在)之間。複數的輻角是複數的重要性質,在不少理論中都有重要作用。

定義

 
複數輻角的直觀示意圖

設有非零複數 ,記作 ,其中的  為實數,那麼複數 的輻角 指的是使下列等式:

 

成立的任何實數 。直觀上來說,假設非零複數 在複平面 中對應的向量是 (右圖藍色向量),那麼它的輻角是所有能夠描述正實數軸到 的轉角的有向角。其中有向角的正方向規定為逆時針方向。圖中可以看出,相差 的倍數的角都可以是輻角。這個性質也可以從三角函數  是以 為周期的周期函數中推導出來。

只有非零複數才有輻角,複數 的輻角是沒有定義的。

輻角主值

同一個複數的輻角有無窮多個,以集合表示為 ,而對於所有  都相同,所以實際只需要以其中一個輻角為代表,此輻角稱為輻角主值主輻角,記作 。一般約定使用區間 中的值作為輻角主值(也有另一種常見的約定是以區間 中的值作為輻角主值)。如果複數的輻角主值是 ,那麼它的所有輻角值就是:

 

注意:也有書籍記載的    定義是倒轉的。

輻角的計算

給定一個形如 的非零複數,輻角主值 是將它映射到區間 中的函數。輻角主值函數可以用反三角函數來描述:

 

或者配合半角公式

 

性質

複數 的一個輻角 絕對值 可以用來組成複數的極坐標形式:

 

在極坐標形式下計算,可以得到複數乘積和商的輻角的規律:

 
 

於是對複數冪次的輻角也有:

 

複數的共軛的輻角則滿足:

 

參考來源