迪潘指標線

微分幾何中,迪潘指標線(英語:Dupin indicatrix)是一個描述曲面局部形狀的概念。通俗來講,畫一個平行於曲面上一點P的切平面並離切平面有微小距離的平面。考慮曲面與這個平面的交線,不難發現交線的形狀與曲面在P點的高斯曲率有關。迪潘指標是平面接近切平面時極限過程的結果。該指標線的概念是19世紀法國數學家夏爾·迪潘發明的[1]

定義

對於方程為 的曲面S,在曲面上一點P可作無數個法截線,每個法截線在P點的曲率為法曲率。

 是對應於截面方向d的法曲率,沿截面方向d作長度為 的線段PN,則對所有方向d,點N的集合為曲面在P點的迪潘指標線。

迪潘指標線的方程

選取P為原點, 基向量,則它們可構成曲面S在P點的切平面上的笛卡爾坐標系。設N點坐標為 ,法截線方向d的切向量為,可得到:

 .

代入 ,經過化簡有: .

其中L, M, N 是曲面第二基本形式,以上就是迪潘指標線的方程[2]

應用

從迪潘指標線的方程可知其表示以P點為中心的二次曲線,因此可以由二次曲線的類別對不同的P點進行分類:

  1. 如果  , 則此時迪潘指標線為橢圓,P點成為曲面的橢圓點。
  2. 如果  , 則此時迪潘指標線為雙曲線,P點成為曲面的雙曲點。
  3. 如果  , 則此時迪潘指標線為一隊平行直線,P點成為曲面的拋物點。
  4. 如果  , 則此時迪潘指標線不存在,P點成為曲面的平點。

參見

參考資料

  1. ^ Kendall, John. Oxford Dictionary of National Biography. Reference Reviews. 2013-09-16, 27 (7). ISSN 0950-4125. doi:10.1108/rr-07-2013-0169. 
  2. ^ 梅, 向明. 微分几何. 高等教育出版社. 2007. ISBN 978-7-04-023572-2. 

外部連結