在數學 的分支泛函分析 中，部分等距映射 是希爾伯特空間 之間的一種線性映射 ，它在核 的正交補 上的限制 是一個等距映射 。
其核的正交補稱為始子空間 ，其值域稱為終子空間 。本文中，算子
W
{\displaystyle W}
I
W
,
F
W
{\displaystyle {\mathcal {I}}W,{\mathcal {F}}W}
在算子代數 中，可用下面的方式[需要更深入解釋 引入始子空間和終子空間：
I
W
:=
R
W
∗
W
,
F
W
:=
R
W
W
∗
.
{\displaystyle {\mathcal {I}}W:={\mathcal {R}}W^{*}W,\,{\mathcal {F}}W:={\mathcal {R}}WW^{*}.}
對於C*-代數 ，由於C*-性質，存在等價鏈：
(
W
∗
W
)
2
=
W
∗
W
⟺
W
W
∗
W
=
W
⟺
W
∗
W
W
∗
=
W
∗
⟺
(
W
W
∗
)
2
=
W
W
∗
{\displaystyle (W^{*}W)^{2}=W^{*}W\iff WW^{*}W=W\iff W^{*}WW^{*}=W^{*}\iff (WW^{*})^{2}=WW^{*}}
因此可由上式中的任意一條來定義部分等距，而到始、終子空間的投影分別為
W
∗
W
,
W
W
∗
{\displaystyle W^{*}W,WW^{*}}
一對按等價關係 劃分[需要更深入解釋 的投影：
P
=
W
∗
W
,
Q
=
W
W
∗
{\displaystyle P=W^{*}W,\,Q=WW^{*}}
它在C*-代數的K-理論 和馮諾依曼代數 中的Murray-馮諾依曼投影理論中發揮着重要作用。
任何正交投影算子都是始、終子空間為同一子空間的部分等距：
P
:
H
→
H
:
I
P
=
F
P
{\displaystyle P:{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}:\quad {\mathcal {I}}P={\mathcal {F}}P}
任何等距嵌入 映射都是始子空間為全空間的部分等距：
J
:
H
↪
K
:
I
J
=
H
{\displaystyle J:{\mathcal {H}}\hookrightarrow {\mathcal {K}}:\quad {\mathcal {I}}J={\mathcal {H}}}
任何幺正算子 都是始、終子空間為全空間的部分等距：
U
:
H
↔
K
:
I
U
=
H
,
F
U
=
K
{\displaystyle U:{\mathcal {H}}\leftrightarrow {\mathcal {K}}:\quad {\mathcal {I}}U={\mathcal {H}},\,{\mathcal {F}}U={\mathcal {K}}}
在二維復希爾伯特空間上的矩陣
(
0
1
0
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}
是一個部分等距，其始子空間為
{
0
}
⊕
C
{\displaystyle \{0\}\oplus \mathbb {C} }
而終子空間為
C
⊕
{
0
}
.
{\displaystyle \mathbb {C} \oplus \{0\}.}
有限維中的其他可能例子有
A
≡
(
1
0
0
0
1
2
1
2
0
0
0
)
.
{\displaystyle A\equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\0&0&0\end{pmatrix}}.}
e
1
≡
(
1
,
0
,
0
)
{\displaystyle \mathbf {e} _{1}\equiv (1,0,0)}
1
2
(
e
2
+
e
3
)
≡
(
0
,
1
/
2
,
1
/
2
)
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3})\equiv (0,1/{\sqrt {2}},1/{\sqrt {2}})}
線性生成空間 ，若將
A
{\displaystyle A}
A
∗
A
=
Π
supp
(
A
)
{\displaystyle A^{*}A=\Pi _{\operatorname {supp} (A)}}
A
∗
A
{\displaystyle A^{*}A}
方陣 。例如，
A
≡
(
1
0
0
0
1
2
1
2
0
0
0
0
1
2
1
2
)
.
{\displaystyle A\equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}.}
e
1
≡
(
1
,
0
,
0
)
{\displaystyle \mathbf {e} _{1}\equiv (1,0,0)}
e
2
+
e
3
≡
(
0
,
1
,
1
)
{\displaystyle \mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\equiv (0,1,1)}
張成 ，並在該子空間上成為一等距映射（特別地，是其上的恆等映射 ）。
還有一個例子
A
=
(
0
1
2
1
2
1
0
0
0
0
0
)
,
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},}
A
{\displaystyle A}
容易驗證
A
e
1
=
e
2
{\displaystyle A\mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{2}}
A
(
e
2
+
e
3
2
)
=
e
1
{\displaystyle A\left({\frac {\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}}{\sqrt {2}}}\right)=\mathbf {e} _{1}}
A
{\displaystyle A}
span
(
{
e
1
,
e
2
+
e
3
}
)
{\displaystyle \operatorname {span} (\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\})}
span
(
{
e
1
,
e
2
}
)
{\displaystyle \operatorname {span} (\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\})}
平方可和序列空間 上的左平移和右平移算子
R
:
ℓ
2
(
N
)
→
ℓ
2
(
N
)
:
(
x
1
,
x
2
,
…
)
↦
(
0
,
x
1
,
x
2
,
…
)
{\displaystyle R:\ell ^{2}(\mathbb {N} )\to \ell ^{2}(\mathbb {N} ):(x_{1},x_{2},\ldots )\mapsto (0,x_{1},x_{2},\ldots )}
L
:
ℓ
2
(
N
)
→
ℓ
2
(
N
)
:
(
x
1
,
x
2
,
…
)
↦
(
x
2
,
x
3
,
…
)
{\displaystyle L:\ell ^{2}(\mathbb {N} )\to \ell ^{2}(\mathbb {N} ):(x_{1},x_{2},\ldots )\mapsto (x_{2},x_{3},\ldots )}
有下列關係
R
∗
=
L
.
{\displaystyle R^{*}=L.}
而左平移和右平移算子是部分等距映射，其始子空間由以下向量構成
L
R
(
x
1
,
x
2
,
…
)
=
(
x
1
,
x
2
,
…
)
{\displaystyle LR(x_{1},x_{2},\ldots )=(x_{1},x_{2},\ldots )}
其終子空間則是：
R
L
(
x
1
,
x
2
,
…
)
=
(
0
,
x
2
,
…
)
.
{\displaystyle RL(x_{1},x_{2},\ldots )=(0,x_{2},\ldots ).}
Conway, John Bligh. A course in operator theory. Providence, R.I: American Mathematical Society. 1999. ISBN 0-8218-2065-6 Carey, R. W.; Pincus, J. D. An Invariant for Certain Operator Algebras . Proceedings of the National Academy of Sciences . May 1974, 71 (5): 1952–1956. Bibcode:1974PNAS...71.1952C PMC 388361 PMID 16592156 doi:10.1073/pnas.71.5.1952 Paterson, Alan L. T. Groupoids, inverse semigroups, and their operator algebras. Boston: Birkhäuser. 1999. ISBN 0-8176-4051-7 Lawson, Mark V. Inverse semigroups: the theory of partial symmetries. Singapore New Jersey London: World Scientific. 1998. ISBN 981-02-3316-7 Stephan Ramon Garcia; Matthew Okubo Patterson; Ross, William T. Partially isometric matrices: A brief and selective survey. 2019. arXiv:1903.11648 math.FA ].
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