閉形式和恰當形式

數學,特別是向量分析微分拓撲中,一個閉形式 微分算子 ,即 微分形式;而恰當形式(恰當微分形式) 是微分算子 ,即存在某個微分形式 使得 稱為關於 的一個「本原」。

因為 ,所以恰當形式一定是閉形式,但閉形式是否為恰當形式並不顯然。考慮一個閉形式是不是恰當的,可由不同的條件檢測拓撲信息來得知。問一個 0-形式是否恰當沒有意義,因為 將階數提高 1,不過可以規定恰當 0-形式就是零函數

當兩個閉形式的差是一個恰當形式時,稱它們為相互上同調的。這便是說,如果 是閉形式,且存在某個 使得

則我們說 是互相上同調的。恰當形式經常稱為上同調於零。相互上同調的形式的集合組成了一個德拉姆上同調類中的一個元素;對這樣的類作一般性研究稱為上同調理論

上的微分形式已經為十九世紀的數學物理所熟知。在平面上,0-形式就是函數,2-形式是函數乘以基本面積元 ,故只有 1-形式

具有真正的意義,其外導數

這裡下標表示偏導數。從而 「閉」的條件是

是一個函數時則

「恰當形式是閉形式」便是關於 xy 二階導數的對稱性的一個推論,這可以直接推廣到高維情形。

上,恰當 1-形式相當於有勢場(保守場),閉 1-形式相當於無旋場。故「恰當形式是閉形式」用向量分析的語言來說相當於有勢場一定是無旋場。

龐加萊引理

龐加萊引理斷言:如果   可縮開子集,對任何整數  ,任何定義在   上的光滑閉  -形式   是恰當的(這只在   有內容)。

可縮意味着存在同倫映射    形變為一點。從而任何   中的閉鏈   都是某個「錐」的邊緣;我們可以取錐為   在同倫下的像。這個性質的對偶版本給出了龐加萊引理。

更確切地,我們將   與柱   聯繫起來,分別通過映射   與頂端和底面等價。在微分形式上,誘導拉回映射   上鏈同倫聯繫:

 

 表示   上的  -形式,映射 是柱映射的對偶,定義為:

 

這裡   是一個不含   的單項  -形式。所以如果  到一點 的同倫形變,那麼

 

在形式上:

 

將這兩個等式代入上鏈同倫等式便證明了龐加萊引理。

這個引理的一個推論是德拉姆上同調是同倫不變量。龐加萊引理的本質是局部的,大範圍的結果就是德拉姆定理

不可縮空間不一定有平凡的德拉姆上同調。例如,在 參數化圓周 上,閉 1-形式 不是恰當的(注意 不能定義為整個  上的函數,但 是一個良定的閉形式)。這是因為恰當形式在圓周上積分為 0,但 在圓周上積分是 

參考文獻

  • Bott, Raoul; Tu, Loring W., Diifferential Forms in Algebraic Topology, Springer-Verlag(Reprinted by Beijing World Publishing Corp.), 1999, ISBN 7-5062-0112-7 
  • 陳維桓, 微分流形初步 2, 高等教育出版社, 2001年, ISBN 7-04-009921-7