餘式定理

多項式餘式定理(英語:Polynomial remainder theorem)是指一個多項式除以一線性多項式餘式

定義

我們可以一般化多項式餘式定理。如果 的商式是 、餘式是 ,那麼 。其中 的次數會小於 的次數。例如, 的餘式是 。又可以說是把除式的零點代入被除式所得的值是餘式。

至於除式為2次以上時,可將n次除式的  列出聯立方程:

 

其中 是被除式, 是餘式。

此方法只可用在除式不是任一多項式的 次方。

推導

多項式餘式定理可由多項式除法的定義導出.根據多項式除法的定義,設被除式為 ,除式為 ,商式為 ,餘式為 ,則有:

 

如果 是一次式 ,則 的次數小於一,因此, 只能為常數,這時,餘式也叫餘數,記為 ,即有:

 

根據上式,當 時,有:

 

因此,我們得到了餘式定理:多項式 除以 所得的餘式等於 

參見