齊次函數

數學中,齊次函數(英語:Homogenous)是一個有倍數性質的函數:如果變數乘以一個係數,則新函數會是原函數再乘上係數的某次方倍。

正式定義

假設  內的兩個向量空間之間的函數。

我們說 是「 次齊次函數」,如果對於所有非零的  ,都有:

 

即是,在歐幾里得空間 , 其中 指數函數

例子

  • 線性函數 是一次齊次函數,因為根據線性的定義,對於所有的  ,都有: 
  • 多線性函數 是n次齊次函數,因為根據多線性的定義,對於所有的  都有: 
  • 從上一個例子中可以看出,兩個巴拿赫空間  之間的函數  弗雷歇導數 次齊次函數。
  •  單項式定義了齊次函數 

例如:

 

是10次齊次函數,因為:

 
  • 齊次多項式是由同次數的單項式相加所組成的多項式。例如:
 

是5次齊次多項式。齊次多項式可以用來定義齊次函數。

基本定理

  • 歐拉定理:假設函數 可導的,且是 次齊次函數。那麼:
 

這個結果證明如下。記 ,並把以下等式兩端對 求導:

 

利用複合函數求導法則,可得:

 

因此:

 

以上的方程可以用劈形算符寫為:

 

 ,定理即得證。

  • 假設 是可導的,且是 階齊次函數。則它的一階偏導數  階齊次函數。

這個結果可以用類似歐拉定理的方法來證明。記 ,並把以下等式兩端對 求導:

 

利用複合函數求導法則,可得:

 

因此:

 

所以

 .

用於解微分方程

對於以下的微分方程

 

其中  是同次數的齊次函數,利用變量代換 ,可以把它化為可分離變量的微分方程

 

參考文獻

  • Blatter, Christian. 20. Mehrdimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1.. Analysis II (2nd ed.). Springer Verlag. 1979: p. 188. ISBN 3-540-09484-9 (德語). 

外部連結