ARCH模型

ARCH模型（英語：Autoregressive conditional heteroskedasticity model，全稱：自我迴歸條件異質變異數模型），解決了傳統的計量經濟學對時間序列變量的第二個假設（變異數恆定）所引起的問題。這個模型是獲得2003年諾貝爾經濟學獎的計量經濟學成果之一。

起源

傳統的計量經濟學對時間序列變量的第二個假設：假定時間序列變量的波動幅度（方差）是固定的，不符合實際，比如，人們早就發現股票收益的波動幅度是隨時間而變化的，並非常數。這使得傳統的時間序列分析對實際問題並不有效。

羅伯特·恩格爾在1982年發表在《計量經濟學》雜誌（Econometrica）的一篇論文中提出了ARCH模型解決了時間序列的波動性（volatility）問題，當時他研究的是英國通貨膨脹率的波動性。

ARCH模型內涵

以$\varepsilon _{t}$表示收益或者收益殘差，假設$\varepsilon _{t}=\sigma _{t}z_{t}$，此處$z_{t}\sim iid\ N(0,1)$（即獨立同分布，均符合期望為0，方差為1的正態分布）此處序列$\sigma _{t}^{2}$建模為

$\sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\varepsilon _{t-1}^{2}+\cdots +\alpha _{p}\varepsilon _{t-p}^{2}$

（其中$\alpha _{0}>0,\alpha _{i}\geq 0,i>0$，即各期收益以非負數線性組合，常數項為正數。

GARCH模型

如果變異數用ARMA模型來表示，則ARCH模型的變形為GARCH模型（波勒斯勒夫（Bollerslev），1986年）。

GARCH（p，q）模型為

$\sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\varepsilon _{t-1}^{2}+\cdots +\alpha _{q}\varepsilon _{t-q}^{2}+\beta _{1}\sigma _{t-1}^{2}+\cdots +\beta _{p}\sigma _{t-p}^{2}$

IGARCH

IGARCH模型對GARCH的參數做了限制。IGARCH（p，q）模型可以表示為：

$\sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{p}\alpha _{i}\epsilon _{t-i}^{2}+\sum _{i=1}^{q}\beta _{i}\sigma _{t-i}^{2}$

條件是：$\sum _{i=1}^{p}\alpha _{i}+\sum _{i=1}^{q}\beta _{i}=1$

GARCH-M

GARCH-M模型把異方差項引入平均數方程式。一個簡單的GARCH-M（1，1）模型可以表示為：

$y_{t}=~\gamma x_{t}+~\phi ~\sigma _{t-1}+~\epsilon _{t}$

$\sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\epsilon _{t-1}^{2}+\beta _{1}\sigma _{t-1}^{2}$

殘差項$~\epsilon _{t}$定義為：

$~\epsilon _{t}\sim \ N(0,\sigma _{t}^{2})$

ARCH模型的應用

ARCH模型能準確地模擬時間序列變量的波動性的變化，它在金融工程學的實證研究中應用廣泛，使人們能更加準確地把握風險（波動性），尤其是應用在風險價值（Value at Risk）理論中，在華爾街是人盡皆知的工具。

ARCH模型的變形和發展

• 波勒斯勒夫（Bollerslev）提出GARCH模型（Generalized ARCH）；
• 利立安（Lilien）提出ARCH-M模型；
• 羅賓斯（Robbins）提出NARCH模型

參見

• 時間序列
• 風險價值