數學上,不等是表明兩個物件的大小或者順序的二元關係,與相等相對。不等關係主要有四種:

  • ,即小於
  • ,即大於

上述兩個屬於嚴格不等

  • ,即小於等於
  • ,即大於等於
  • ,即不等於

將兩個表達式用不等符號連起來,就構成了不等式

若不等關係對變量的所有元素都成立,則稱其為「絕對的」或「無條件的」。若不等關係只對變量的部分取值成立,而對另一部分將改變方向或失效,則稱為條件不等。

不等式兩邊同時加或減相同的數,或者兩邊同時乘以或除以同一個正數,不等關係不變。不等式兩邊同時乘以或除以同一個負數,不等關係改變方向。

符號表示「遠大於」。其含義是不確定的,可以是 100 倍的差異,也可能是10個數量級的差異。和方程相聯繫,它被用來給出一個非常大的值而使方程的輸出滿足一個特定的結果。

性質

不等具有下列性質:

三一律
對任意實數  ,只有下列之一是真的:
  •  
  •  
  •  
調換性質:
對任意實數  
  •    是等價的。
  •    是等價的。
遞移性
對任意實數   
  • 如果   ,則  
  • 如果   ,則  
  • 如果   ,則  
  • 如果   ,則  
加法性質:
對任意實數   
  •  ;則  
  •  ;則  
乘法性質:
對任意實數   ,且有 
  •  正數 ;則  
  •  為 正數 且  ;則  
  •  負數 ;則  
  •  為 負數 且  ;則  

注意:當遇上不等關係求解時,比如已知   ,不可以認為  ,但根據此描述可知   是真的。

連鎖表示法

  •   代表「  」。
  •   代表「  」。
  •   代表「  」。
  •   代表「  」。

舉例

  •   ;則
 
  •  ;則
 
  •  ;則
 
  •  ;則
 
  •  ;則
 
  •  ;則
 
  •  ;則
 
  •  ;則
 
  • 對於實數     ,若   ;則
      例-1
    證明
      (10) [前提]
      (15) [前提]
      (20) 源自 (10)
      (25) 源自 (15)

    (20)(25) 經由遞移性質可以得到

      (30) 源自 (20) (25)
      (35) 源自 (30)
      (40) 源自 (35) [結論]
  • 對於實數     ,若   ;則
  例-2
證明
  (45) [前提]
  (50) [前提]
  (55) 源自 (50)
  (60) 源自 (55)

(45)(60) 經由 (例-1) 可以得到

  (65) 源自 (45) (60)
  (70) 源自 (65) [結論]

參見