在這篇文章內，我們把域
F
{\displaystyle F\,}
線性空間
V
{\displaystyle V\,}
在多重線性代數 裏，並矢張量 (dyadic tensor )是一個以特別標記法寫出的二階張量 ，是由成對的向量 並置形成的。針對這特別標記法，有一套專門計算這種表達式，類似於矩陣代數 規則的方法[ 1] [ 2] 並矢 (dyad )。兩個單位基底向量 的並矢積 稱為單位並矢 (unit dyad )。純量與單位並矢的乘積就是並矢。
例如，設定兩個三維向量
v
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}\,}
w
{\displaystyle {\boldsymbol {w}}\,}
v
=
v
1
i
+
v
2
j
+
v
3
k
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}=v_{1}{\boldsymbol {i}}+v_{2}{\boldsymbol {j}}+v_{3}{\boldsymbol {k}}\,}
w
=
w
1
i
+
w
2
j
+
w
3
k
{\displaystyle {\boldsymbol {w}}=w_{1}{\boldsymbol {i}}+w_{2}{\boldsymbol {j}}+w_{3}{\boldsymbol {k}}\,}
其中，
i
{\displaystyle {\boldsymbol {i}}\,}
j
{\displaystyle {\boldsymbol {j}}\,}
k
{\displaystyle {\boldsymbol {k}}\,}
標準正交基 的單位基底向量。
那麼，
v
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}\,}
w
{\displaystyle {\boldsymbol {w}}\,}
v
w
=
v
1
w
1
i
i
+
v
1
w
2
i
j
+
v
1
w
3
i
k
+
v
2
w
1
j
i
+
v
2
w
2
j
j
+
v
2
w
3
j
k
+
v
3
w
1
k
i
+
v
3
w
2
k
j
+
v
3
w
3
k
k
{\displaystyle {\boldsymbol {vw}}=v_{1}w_{1}{\boldsymbol {ii}}+v_{1}w_{2}{\boldsymbol {ij}}+v_{1}w_{3}{\boldsymbol {ik}}+v_{2}w_{1}{\boldsymbol {ji}}+v_{2}w_{2}{\boldsymbol {jj}}+v_{2}w_{3}{\boldsymbol {jk}}+v_{3}w_{1}{\boldsymbol {ki}}+v_{3}w_{2}{\boldsymbol {kj}}+v_{3}w_{3}{\boldsymbol {kk}}\,}
其中，
i
i
{\displaystyle {\boldsymbol {ii}}\,}
i
j
{\displaystyle {\boldsymbol {ij}}\,}
i
k
{\displaystyle {\boldsymbol {ik}}\,}
v
1
w
1
i
i
{\displaystyle v_{1}w_{1}{\boldsymbol {ii}}\,}
v
1
w
2
i
j
{\displaystyle v_{1}w_{2}{\boldsymbol {ij}}\,}
v
1
w
3
i
k
{\displaystyle v_{1}w_{3}{\boldsymbol {ik}}\,}
並矢張量
v
w
{\displaystyle {\boldsymbol {vw}}\,}
v
w
=
(
v
1
w
1
v
1
w
2
v
1
w
3
v
2
w
1
v
2
w
2
v
2
w
3
v
3
w
1
v
3
w
2
v
3
w
3
)
{\displaystyle {\boldsymbol {vw}}={\begin{pmatrix}v_{1}w_{1}&v_{1}w_{2}&v_{1}w_{3}\\v_{2}w_{1}&v_{2}w_{2}&v_{2}w_{3}\\v_{3}w_{1}&v_{3}w_{2}&v_{3}w_{3}\end{pmatrix}}\,}
。
根據Morse 與Feshbach 所著作的權威教科書[ 3]
A
{\displaystyle \mathbf {A} \,}
陣列 ，其分量
A
m
n
,
m
,
n
=
1
,
2
,
3
{\displaystyle A_{mn},\ m,n=1,2,3\,}
協變變換 (covariant transformation )的定律。
A
i
j
′
=
∑
m
,
n
∂
x
m
∂
x
i
′
∂
x
n
∂
x
j
′
A
m
n
{\displaystyle A_{ij}'=\sum _{m,n}{\frac {\partial x_{m}}{\partial x_{i}'}}{\frac {\partial x_{n}}{\partial x_{j}'}}A_{mn}\,}
其中，
A
i
j
′
{\displaystyle A_{ij}'\,}
所以，並矢張量是一個二階協變張量。反過來說，按照這定義推廣，任意二階協變張量都是並矢張量：
A
=
A
11
i
i
+
A
12
i
j
+
A
13
i
k
+
A
21
j
i
+
A
22
j
j
+
A
23
j
k
+
A
31
k
i
+
A
32
k
j
+
A
33
k
k
{\displaystyle \mathbf {A} =A_{11}{\boldsymbol {ii}}+A_{12}{\boldsymbol {ij}}+A_{13}{\boldsymbol {ik}}+A_{21}{\boldsymbol {ji}}+A_{22}{\boldsymbol {jj}}+A_{23}{\boldsymbol {jk}}+A_{31}{\boldsymbol {ki}}+A_{32}{\boldsymbol {kj}}+A_{33}{\boldsymbol {kk}}\,}
應用點積 ，並矢張量
A
{\displaystyle \mathbf {A} \,}
v
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}\,}
A
⋅
v
=
∑
m
,
n
(
A
m
n
e
m
e
n
)
⋅
∑
ℓ
(
v
ℓ
e
ℓ
)
{\displaystyle \mathbf {A} \cdot {\boldsymbol {v}}=\sum _{m,n}(A_{mn}{\boldsymbol {e}}_{m}{\boldsymbol {e}}_{n})\cdot \sum _{\ell }(v_{\ell }{\boldsymbol {e}}_{\ell })\,}
其中，
e
m
{\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{m}\,}
e
n
{\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{n}\,}
e
ℓ
{\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{\ell }\,}
注意到
(
e
m
e
n
)
⋅
e
ℓ
=
e
m
δ
n
ℓ
{\displaystyle ({\boldsymbol {e}}_{m}{\boldsymbol {e}}_{n})\cdot {\boldsymbol {e}}_{\ell }={\boldsymbol {e}}_{m}\delta _{n\ell }\,}
δ
n
ℓ
{\displaystyle \delta _{n\ell }\,}
克羅內克函數 。所以，
A
⋅
v
=
∑
m
,
n
A
m
n
v
n
e
m
{\displaystyle \mathbf {A} \cdot {\boldsymbol {v}}=\sum _{m,n}A_{mn}v_{n}{\boldsymbol {e}}_{m}\,}
這點積運算得到的結果是一個協變向量。
並矢張量的縮併 (tensor contraction )運算，將每一個並置
e
m
e
n
{\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{m}{\boldsymbol {e}}_{n}\,}
e
m
⋅
e
n
{\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{m}\cdot {\boldsymbol {e}}_{n}\,}
|
A
|
=
∑
m
A
m
m
{\displaystyle |\mathbf {A} |=\sum _{m}A_{m}^{m}\,}
只成立於三維空間，並矢張量的旋轉因子 運算，將每一個並置
e
m
e
n
{\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{m}{\boldsymbol {e}}_{n}\,}
叉積
e
m
×
e
n
{\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{m}\times {\boldsymbol {e}}_{n}\,}
⟨
A
⟩
=
e
1
(
A
23
−
A
32
)
+
e
2
(
A
31
−
A
13
)
+
e
3
(
A
12
−
A
21
)
{\displaystyle \langle \mathbf {A} \rangle ={\boldsymbol {e}}_{1}(A_{23}-A_{32})+{\boldsymbol {e}}_{2}(A_{31}-A_{13})+{\boldsymbol {e}}_{3}(A_{12}-A_{21})\,}
這也可以表達為
A
{\displaystyle \mathbf {A} \,}
列維-奇維塔符號
ϵ
i
m
n
{\displaystyle \epsilon _{imn}\,}
⟨
A
⟩
=
∑
m
n
ϵ
i
m
n
A
m
n
{\displaystyle \langle \mathbf {A} \rangle =\sum _{mn}\epsilon _{imn}A_{mn}\,}
兩個向量
v
,
w
{\displaystyle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}}\,}
並矢積
v
w
{\displaystyle {\boldsymbol {vw}}\,}
張量積
v
⊗
w
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}\otimes {\boldsymbol {w}}\,}
並矢張量 ，從而並矢張量和二階張量 （嚴格地說，是二階的反變張量 ）是同義詞。力學、電動力學中常見的例子就是單位並矢張量
I
=
i
i
+
j
j
+
k
k
{\displaystyle {\mathcal {I}}={\boldsymbol {ii}}+{\boldsymbol {jj}}+{\boldsymbol {kk}}\,}
轉動慣量
I
=
∭
(
r
2
I
−
r
r
)
ρ
d
V
{\displaystyle \mathbf {I} =\iiint (r^{2}{\mathcal {I}}-{\boldsymbol {r}}{\boldsymbol {r}})\,\rho \,dV\,}
麥克斯韋應力張量 等；量子力學中的角動量耦合 (angular momentum coupling )理論也要用到並矢張量。
需要注意：並矢積是不可交換的，也就是說，除非兩個向量
v
,
w
{\displaystyle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}}\,}
線性相關 ，否則一定有
v
w
≠
w
v
{\displaystyle {\boldsymbol {vw}}\neq {\boldsymbol {wv}}\,}
在物理學 中，並矢張量最重要的應用之一就是它和向量的縮併。對於並矢積
v
w
{\displaystyle {\boldsymbol {vw}}\,}
u
{\displaystyle {\boldsymbol {u}}\,}
(
v
w
)
⋅
u
:=
v
(
w
⋅
u
)
,
u
⋅
(
v
w
)
:=
(
u
⋅
v
)
w
{\displaystyle ({\boldsymbol {vw}})\cdot {\boldsymbol {u}}:={\boldsymbol {v}}\,({\boldsymbol {w}}\cdot {\boldsymbol {u}})\,,\qquad {\boldsymbol {u}}\cdot ({\boldsymbol {vw}}):=({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {v}})\,{\boldsymbol {w}}\,}
如果要求這種規定也適用於量子力學中的態向量 ，在這種情況下就要特別注意每個式子右端各個向量的先後順序：用狄拉克符號 來寫，則
u
⋅
v
=
⟨
u
|
v
⟩
{\displaystyle {\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {v}}=\langle u|v\rangle \,}
設
V
{\displaystyle V\,}
F
{\displaystyle F\,}
定義1. 對於任意
v
,
w
∈
V
{\displaystyle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}}\in V\,}
張量積
v
⊗
w
∈
V
⊗
V
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}\otimes {\boldsymbol {w}}\in V\otimes V\,}
v
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}\,}
w
{\displaystyle {\boldsymbol {w}}\,}
並矢積 並將其簡記為
v
w
{\displaystyle {\boldsymbol {vw}}\,}
V
⊗
V
{\displaystyle V\otimes V\,}
V
{\displaystyle V\,}
並矢張量 ，或者二階反變張量 。
定義2. 如果有
F
{\displaystyle F\,}
W
{\displaystyle W\,}
ϕ
:
V
×
V
→
W
{\displaystyle \phi :V\times V\rightarrow W\,}
(1)
∀
T
∈
W
{\displaystyle \forall \mathbf {T} \in W\,}
∃
k
∈
N
{\displaystyle \exists k\in \mathbb {N} \,}
u
1
,
v
1
,
…
,
u
k
,
v
k
∈
V
{\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{1},{\boldsymbol {v}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {u}}_{k},{\boldsymbol {v}}_{k}\in V\,}
T
=
∑
i
=
1
k
ϕ
(
u
i
,
v
i
)
{\displaystyle \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{k}\phi ({\boldsymbol {u}}_{i},{\boldsymbol {v}}_{i})\,}
(2) 當
v
1
,
…
,
v
k
∈
V
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {v}}_{k}\in V\,}
{
ϕ
(
v
i
,
v
j
)
|
i
,
j
=
1
,
…
,
k
}
{\displaystyle \{\phi ({\boldsymbol {v}}_{i},{\boldsymbol {v}}_{j})\,|\,i,j=1,\ldots ,k\}\,}
W
{\displaystyle W\,}
則稱
W
{\displaystyle W\,}
V
{\displaystyle V\,}
並矢張量 或二階反變張量 ，把
ϕ
(
v
,
w
)
{\displaystyle \phi ({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}})\,}
v
w
{\displaystyle {\boldsymbol {vw}}\,}
定義3.
V
{\displaystyle V\,}
並矢張量 （或者二階反變張量 ）這個概念可以按照下述規則來建立：
(1) 任意向量
v
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}\,}
w
{\displaystyle {\boldsymbol {w}}\,}
並矢積
v
w
{\displaystyle {\boldsymbol {vw}}\,}
(2) 對於任意的
α
∈
F
{\displaystyle \alpha \in F\,}
v
,
w
∈
V
{\displaystyle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}}\in V\,}
(
α
v
)
w
=
v
(
α
w
)
=
α
(
v
w
)
{\displaystyle (\alpha {\boldsymbol {v}}){\boldsymbol {w}}={\boldsymbol {v}}(\alpha {\boldsymbol {w}})=\alpha ({\boldsymbol {vw}})\,}
α
v
w
{\displaystyle \alpha {\boldsymbol {vw}}\,}
(3) 稱有限個並矢積的形式和 為一個並矢張量 ； (4) 對任意正整數
k
{\displaystyle k\,}
v
1
,
…
,
v
k
∈
V
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {v}}_{k}\in V\,}
線性無關 ，則
{
v
i
v
j
|
i
,
j
=
1
,
…
,
k
}
{\displaystyle \{{\boldsymbol {v}}_{i}{\boldsymbol {v}}_{j}\,|\,i,j=1,\ldots ,k\}\,}
v
w
=
0
{\displaystyle {\boldsymbol {vw}}=0\,}
v
=
0
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}=0\,}
w
=
0
{\displaystyle {\boldsymbol {w}}=0\,}
(5) 對任意的
u
{\displaystyle {\boldsymbol {u}}\,}
v
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}\,}
w
∈
V
{\displaystyle {\boldsymbol {w}}\in V\,}
分配律
u
(
v
+
w
)
=
u
v
+
u
w
,
(
u
+
v
)
w
=
u
w
+
v
w
{\displaystyle {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {w}})={\boldsymbol {uv}}+{\boldsymbol {uw}}\,,\qquad ({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}}){\boldsymbol {w}}={\boldsymbol {uw}}+{\boldsymbol {vw}}\,}
註： 所謂形式和 ，就是說我們既不刻意追究求和的實際含義，也關心求和的結果在哪個集合中，而只是知道這種求和滿足交換律 和結合律 。
既然上述定義等價，我們就把
V
{\displaystyle V\,}
V
⊗
V
{\displaystyle V\otimes V\,}
V
{\displaystyle V\,}
內積空間 並把
v
,
w
∈
V
{\displaystyle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}}\in V\,}
v
⋅
w
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {w}}\,}
F
=
C
{\displaystyle F=\mathbb {C} \,}
v
⋅
w
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {w}}\,}
v
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}\,}
T
{\displaystyle \mathbf {T} \,}
v
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}\,}
縮併
T
⋅
v
{\displaystyle \mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {v}}\,}
v
⋅
T
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}\cdot \mathbf {T} \,}
V
{\displaystyle V\,}
(6) 對於任意的
α
∈
F
,
T
∈
V
⊗
V
{\displaystyle \alpha \in F,\,\mathbf {T} \in V\otimes V\,}
v
∈
V
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}\in V\,}
(
α
T
)
⋅
v
=
T
⋅
(
α
∗
v
)
=
α
(
T
⋅
v
)
,
v
⋅
(
α
T
)
=
(
α
∗
v
)
⋅
T
=
α
(
v
⋅
T
)
{\displaystyle (\alpha \mathbf {T} )\cdot {\boldsymbol {v}}=\mathbf {T} \cdot (\alpha ^{*}{\boldsymbol {v}})=\alpha (\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {v}})\,,\qquad {\boldsymbol {v}}\cdot (\alpha \mathbf {T} )=(\alpha ^{*}{\boldsymbol {v}})\cdot \mathbf {T} =\alpha ({\boldsymbol {v}}\cdot \mathbf {T} )\,}
從而可以把上述兩個結果分別記為
α
T
⋅
v
{\displaystyle \alpha \mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {v}}\,}
α
v
⋅
T
{\displaystyle \alpha {\boldsymbol {v}}\cdot \mathbf {T} \,}
α
∗
{\displaystyle \alpha ^{*}\,}
α
{\displaystyle \alpha \,}
複共軛 （如果
F
=
C
{\displaystyle F=\mathbb {C} \,}
(7) 對於任意的
S
,
T
∈
V
⊗
V
{\displaystyle \mathbf {S} ,\,\mathbf {T} \in V\otimes V\,}
v
∈
V
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}\in V\,}
(
S
+
T
)
⋅
v
=
S
⋅
v
+
T
⋅
v
,
v
⋅
(
S
+
T
)
=
v
⋅
S
+
v
⋅
T
{\displaystyle (\mathbf {S} +\mathbf {T} )\cdot {\boldsymbol {v}}=\mathbf {S} \cdot {\boldsymbol {v}}+\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {v}}\,,\qquad {\boldsymbol {v}}\cdot (\mathbf {S} +\mathbf {T} )={\boldsymbol {v}}\cdot \mathbf {S} +{\boldsymbol {v}}\cdot \mathbf {T} \,}
(8) 對於任意的
T
∈
V
⊗
V
{\displaystyle \mathbf {T} \in V\otimes V\,}
v
,
w
∈
V
{\displaystyle {\boldsymbol {v}},\,{\boldsymbol {w}}\in V\,}
T
⋅
(
v
+
w
)
=
T
⋅
v
+
T
⋅
w
,
(
v
+
w
)
⋅
T
=
v
⋅
T
+
w
⋅
T
{\displaystyle \mathbf {T} \cdot ({\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {w}})=\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {v}}+\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {w}}\,,\qquad ({\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {w}})\cdot \mathbf {T} ={\boldsymbol {v}}\cdot \mathbf {T} +{\boldsymbol {w}}\cdot \mathbf {T} \,}
(9) 對任意的
u
,
v
,
w
∈
V
{\displaystyle {\boldsymbol {u}},\,{\boldsymbol {v}},\,{\boldsymbol {w}}\in V\,}
(
u
v
)
⋅
w
=
u
(
v
⋅
w
)
,
u
⋅
(
v
w
)
=
(
u
⋅
v
)
w
{\displaystyle ({\boldsymbol {uv}})\cdot {\boldsymbol {w}}={\boldsymbol {u}}\,({\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {w}})\,,\qquad {\boldsymbol {u}}\cdot ({\boldsymbol {vw}})=({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {v}})\,{\boldsymbol {w}}\,}
設定
M
{\displaystyle \mathbf {M} \,}
M
=
j
i
−
i
j
=
(
0
−
1
1
0
)
{\displaystyle \mathbf {M} ={\boldsymbol {ji}}-{\boldsymbol {ij}}=\left({\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}}\right)\,}
M
{\displaystyle \mathbf {M} \,}
旋轉算子 (rotation operator ) 。它可以從左邊點積 一個向量來產生一個旋轉 ：
M
⋅
(
x
i
+
y
j
)
=
(
j
i
−
i
j
)
⋅
(
x
i
+
y
j
)
=
x
j
i
⋅
i
−
x
i
j
⋅
i
+
y
j
i
⋅
j
−
y
i
j
⋅
j
=
−
y
i
+
x
j
{\displaystyle \mathbf {M} \cdot (x{\boldsymbol {i}}+y{\boldsymbol {j}})=({\boldsymbol {ji}}-{\boldsymbol {ij}})\cdot (x{\boldsymbol {i}}+y{\boldsymbol {j}})=x{\boldsymbol {ji}}\cdot {\boldsymbol {i}}-x{\boldsymbol {ij}}\cdot {\boldsymbol {i}}+y{\boldsymbol {ji}}\cdot {\boldsymbol {j}}-y{\boldsymbol {ij}}\cdot {\boldsymbol {j}}=-y{\boldsymbol {i}}+x{\boldsymbol {j}}\,}
或以矩陣表達，
(
0
−
1
1
0
)
(
x
y
)
=
(
−
y
x
)
{\displaystyle \left({\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}x\\y\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}\ -y\\x\end{array}}\right)\,}
一個一般的二維旋轉並矢張量，會產生
θ
{\displaystyle \theta \,}
反時針方向 的旋轉，表達為
cos
θ
I
+
sin
θ
M
=
(
cos
θ
−
sin
θ
sin
θ
cos
θ
)
{\displaystyle \cos \theta \mathbf {I} +\sin \theta \mathbf {M} ={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\ \cos \theta \end{pmatrix}}\,}
其中，
I
=
i
i
+
j
j
{\displaystyle \mathbf {I} ={\boldsymbol {ii}}+{\boldsymbol {jj}}\,}
單位並矢張量 。
設
V
{\displaystyle V\,}
量子力學 中所有的角動量本徵態 所張成的希爾伯特空間 （囊括了所有可能的總角動量量子數
0
{\displaystyle 0\,}
1
/
2
{\displaystyle 1/2\,}
1
{\displaystyle 1\,}
3
/
2
{\displaystyle 3/2\,}
…
{\displaystyle \ldots \,}
F
=
C
{\displaystyle F=\mathbb {C} \,}
態向量 的並矢張量
|
j
1
m
1
⟩
|
j
2
m
2
⟩
{\displaystyle |j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle \,}
|
j
1
m
1
j
2
m
2
⟩
{\displaystyle |j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}\rangle \,}
|
j
1
m
1
,
j
2
m
2
⟩
{\displaystyle |j_{1}m_{1},j_{2}m_{2}\rangle \,}
複數
C
j
1
m
1
j
2
m
2
{\displaystyle C_{j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}}\,}
∑
j
1
∑
m
1
∑
j
2
∑
m
2
C
j
1
m
1
j
2
m
2
|
j
1
m
1
⟩
|
j
2
m
2
⟩
{\displaystyle \sum _{j_{1}}\sum _{m_{1}}\sum _{j_{2}}\sum _{m_{2}}C_{j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}}|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle \,}
就是一個並矢張量。不妨把這個並矢張量記作
T
{\displaystyle \mathbf {T} \,}
|
j
m
⟩
{\displaystyle |jm\rangle \,}
T
⋅
|
j
m
⟩
=
∑
j
1
∑
m
1
∑
j
2
∑
m
2
C
j
1
m
1
j
2
m
2
⟨
j
m
|
j
2
m
2
⟩
|
j
1
m
1
⟩
{\displaystyle \mathbf {T} \cdot |jm\rangle =\sum _{j_{1}}\sum _{m_{1}}\sum _{j_{2}}\sum _{m_{2}}C_{j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}}\langle jm|j_{2}m_{2}\rangle \,|j_{1}m_{1}\rangle \,}
|
j
m
⟩
⋅
T
=
∑
j
1
∑
m
1
∑
j
2
∑
m
2
C
j
1
m
1
j
2
m
2
⟨
j
m
|
j
1
m
1
⟩
|
j
2
m
2
⟩
{\displaystyle |jm\rangle \cdot \mathbf {T} =\sum _{j_{1}}\sum _{m_{1}}\sum _{j_{2}}\sum _{m_{2}}C_{j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}}\langle jm|j_{1}m_{1}\rangle \,|j_{2}m_{2}\rangle \,}
在這其中，量子力學中最廣為人知的就是通過CG向量耦合係數 所組合出來的張量。當然，在角動量耦合理論中，這樣的張量被等同為某些角動量本徵態，除了物理上的考慮之外，這更主要地還是有關李群
S
U
(
2
)
{\displaystyle SU(2)\,}
李代數
s
u
(
2
)
{\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)\,}
李群表示 及李代數的表示 (Lie algebra representation ) ，在這裏就不再深入探討了。
實際上可以這樣說，在量子力學中，只要物理問題涉及了系統的耦合，數學上就會導致態向量的並矢。在這方面，還可以舉一個常見的例子：由一維諧振子 的態向量所構成的並矢張量可以用來描述二維諧振子系統。
三維歐幾里得空間 上的並矢張量的例子非常多，例如轉動慣量 、應力張量 、應變 等等。這些例子實際上就是並矢張量這個概念的最初原型。
下面我們要說明，前面建議的規則 (1) 到 (9) 足以講清楚二階張量的運算和性質。
考慮
V
{\displaystyle V\,}
歐幾里得空間 的情形，則
V
{\displaystyle V\,}
實數域
R
{\displaystyle \mathbb {R} \,}
線性空間 （設
dim
V
=
n
{\displaystyle \dim V=n\,}
正定 的內積 。設
(
e
1
,
…
,
e
n
)
{\displaystyle ({\boldsymbol {e}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {e}}_{n})\,}
V
{\displaystyle V\,}
基底 ，則任意
v
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}\,}
w
∈
V
{\displaystyle {\boldsymbol {w}}\in V\,}
v
=
∑
i
=
1
n
v
i
e
i
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}=\sum _{i=1}^{n}v^{i}{\boldsymbol {e}}_{i}\,}
w
=
∑
i
=
1
n
w
i
e
i
{\displaystyle {\boldsymbol {w}}=\sum _{i=1}^{n}w^{i}{\boldsymbol {e}}_{i}\,}
並矢張量與向量的縮併 ）的使用，我們明顯地寫出了求和號而不使用愛因斯坦求和約定 。但是，為了簡便，求和的上下限被略去了。
以下運算中，等於號上方的標號是規則的編號。
首先，我們要證明所有的二階張量都能夠用
e
i
e
j
{\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}{\boldsymbol {e}}_{j}\,}
v
w
=
(
∑
i
v
i
e
i
)
(
∑
j
w
j
e
j
)
=
(
5
)
∑
i
[
(
v
i
e
i
)
∑
j
w
j
e
j
]
=
(
5
)
∑
i
∑
j
(
v
i
e
i
)
(
w
j
e
j
)
{\displaystyle {\boldsymbol {vw}}={\Big (}\sum _{i}v^{i}{\boldsymbol {e}}_{i}{\Big )}{\Big (}\sum _{j}w^{j}{\boldsymbol {e}}_{j}{\Big )}{\stackrel {(5)}{=}}\sum _{i}{\Big [}(v^{i}{\boldsymbol {e}}_{i})\sum _{j}w^{j}{\boldsymbol {e}}_{j}{\Big ]}{\stackrel {(5)}{=}}\sum _{i}\sum _{j}(v^{i}{\boldsymbol {e}}_{i})(w^{j}{\boldsymbol {e}}_{j})\,}
接下來重複地利用規則 (2) 可得
v
w
=
(
2
)
∑
i
∑
j
e
i
(
v
i
(
w
j
e
j
)
)
=
∑
i
∑
j
e
i
(
(
v
i
w
j
)
e
j
)
)
=
(
2
)
∑
i
∑
j
(
v
i
w
j
)
e
i
e
j
{\displaystyle {\boldsymbol {vw}}{\stackrel {(2)}{=}}\sum _{i}\sum _{j}{\boldsymbol {e}}_{i}{\Big (}v^{i}(w^{j}{\boldsymbol {e}}_{j}){\Big )}=\sum _{i}\sum _{j}{\boldsymbol {e}}_{i}{\Big (}(v^{i}w^{j})\,{\boldsymbol {e}}_{j}){\Big )}{\stackrel {(2)}{=}}\sum _{i}\sum _{j}(v^{i}w^{j})\,{\boldsymbol {e}}_{i}{\boldsymbol {e}}_{j}\,}
這樣，我們就證明了所有的並矢，即形如
v
w
{\displaystyle {\boldsymbol {vw}}\,}
e
i
e
j
{\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}{\boldsymbol {e}}_{j}\,}
e
i
e
j
{\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}{\boldsymbol {e}}_{j}\,}
反之，由規則 (1) 和 (3)，每一個
e
i
e
j
{\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}{\boldsymbol {e}}_{j}\,}
e
i
e
j
{\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}{\boldsymbol {e}}_{j}\,}
然後，從規則 (4) 可以證明，全部的
e
i
e
j
{\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}{\boldsymbol {e}}_{j}\,}
線性無關 的，因此構成了
V
⊗
V
{\displaystyle V\otimes V\,}
最後，利用規則（6）到（9）不難把所有的縮併最終歸結為計算
(
e
i
⋅
e
j
)
e
k
{\displaystyle ({\boldsymbol {e}}_{i}\cdot {\boldsymbol {e}}_{j})\,{\boldsymbol {e}}_{k}\,}
標準正交基 ，那麼結果就非常簡單了。
對於
n
{\displaystyle n\,}
歐幾里得空間
V
{\displaystyle V\,}
F
=
R
{\displaystyle F=\mathbb {R} \,}
T
{\displaystyle \mathbf {T} \,}
v
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}\,}
T
⋅
v
{\displaystyle \mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {v}}\,}
v
⋅
T
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}\cdot \mathbf {T} \,}
歐幾里得空間上的並矢張量總是對應着它自身上的線性變換 。 [來源請求] 滿射 。為了準確起見，把
T
∈
V
⊗
V
{\displaystyle \mathbf {T} \in V\otimes V\,}
V
{\displaystyle V\,}
R
♭
T
:
V
→
V
,
v
↦
T
⋅
v
{\displaystyle R_{\flat }\mathbf {T} :V\rightarrow V,{\boldsymbol {v}}\mapsto \mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {v}}\,}
L
♭
T
:
V
→
V
,
v
↦
v
⋅
T
{\displaystyle L_{\flat }\mathbf {T} :V\rightarrow V,{\boldsymbol {v}}\mapsto {\boldsymbol {v}}\cdot \mathbf {T} \,}
引理1. 對於歐幾里得空間
V
{\displaystyle V\,}
T
^
:
V
→
V
{\displaystyle {\hat {T}}:V\rightarrow V\,}
V
{\displaystyle V\,}
T
{\displaystyle \mathbf {T} \,}
T
′
{\displaystyle \mathbf {T} '\,}
T
^
=
R
♭
T
{\displaystyle {\hat {T}}=R_{\flat }\mathbf {T} \,}
T
^
=
L
♭
T
′
{\displaystyle {\hat {T}}=L_{\flat }\mathbf {T} '\,}
證明： 由於證明方法類似，我們只證明
T
{\displaystyle \mathbf {T} \,}
(
e
1
,
…
,
e
n
)
{\displaystyle ({\boldsymbol {e}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {e}}_{n})\,}
V
{\displaystyle V\,}
基底 （不必是標準正交基 ），令
g
i
j
=
e
i
⋅
e
j
{\displaystyle g_{ij}={\boldsymbol {e}}_{i}\cdot {\boldsymbol {e}}_{j}\,}
則內積 的正定性導致
g
i
j
{\displaystyle g_{ij}\,}
n
×
n
{\displaystyle n\times n\,}
G
=
(
g
i
j
)
{\displaystyle G=(g_{ij})\,}
正定矩陣 。給了
V
{\displaystyle V\,}
T
^
:
V
→
V
{\displaystyle {\hat {T}}:V\rightarrow V\,}
矩陣
T
=
(
T
j
i
)
{\displaystyle T=(\ T_{\ j}^{i}\ )\,}
T
^
e
j
=
T
j
i
e
i
{\displaystyle {\hat {T}}{\boldsymbol {e}}_{j}=T_{\ j}^{i}{\boldsymbol {e}}_{i}\,}
在這裏我們使用了愛因斯坦求和約定 。現在我們利用
G
{\displaystyle G\,}
逆矩陣
G
−
1
=
(
g
i
j
)
,
g
i
j
g
j
k
=
δ
i
k
{\displaystyle G^{-1}=(g^{ij})\,,\qquad g_{ij}g^{jk}=\delta _{i}^{k}\,}
構造一個並矢張量
T
=
T
j
i
g
j
k
e
i
e
k
{\displaystyle \mathbf {T} =T_{\ j}^{i}g^{jk}\,{\boldsymbol {e}}_{i}{\boldsymbol {e}}_{k}\,}
則
(
R
♭
T
)
e
j
=
T
⋅
e
j
=
T
l
i
g
l
k
e
i
e
k
⋅
e
j
=
T
l
i
g
l
k
e
i
(
e
k
⋅
e
j
)
=
T
l
i
g
l
k
e
i
g
k
j
=
T
l
i
δ
j
l
e
i
=
T
j
i
e
i
=
T
^
e
j
{\displaystyle (R_{\flat }\mathbf {T} ){\boldsymbol {e}}_{j}=\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {e}}_{j}=T_{\ l}^{i}g^{lk}\,{\boldsymbol {e}}_{i}{\boldsymbol {e}}_{k}\cdot {\boldsymbol {e}}_{j}=T_{\ l}^{i}g^{lk}\,{\boldsymbol {e}}_{i}({\boldsymbol {e}}_{k}\cdot {\boldsymbol {e}}_{j})=T_{\ l}^{i}g^{lk}\,{\boldsymbol {e}}_{i}\,g_{kj}=T_{\ l}^{i}\delta _{j}^{l}\,{\boldsymbol {e}}_{i}=T_{\ j}^{i}\,{\boldsymbol {e}}_{i}={\hat {T}}{\boldsymbol {e}}_{j}\,}
可見由
T
^
=
R
♭
T
{\displaystyle {\hat {T}}=R_{\flat }\mathbf {T} \,}
類似地也可以構造一個
T
′
∈
V
⊗
V
{\displaystyle \mathbf {T} '\in V\otimes V\,}
T
^
=
L
♭
T
′
{\displaystyle {\hat {T}}=L_{\flat }\mathbf {T} '\,}
T
′
{\displaystyle \mathbf {T} '\,}
T
{\displaystyle \mathbf {T} \,}
轉置 ——用基底來展開，就是說
T
′
=
T
j
i
g
j
k
e
k
e
i
{\displaystyle \mathbf {T} '=T_{\ j}^{i}g^{jk}\,{\boldsymbol {e}}_{k}{\boldsymbol {e}}_{i}\,}
結論證畢。
把
n
{\displaystyle n\,}
V
{\displaystyle V\,}
g
l
(
V
)
{\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)\,}
n
2
{\displaystyle n^{2}\,}
並矢張量和向量的縮併 中的規則 (6) 和 (7) 不難得到
引理2. 映射
R
♭
:
V
⊗
V
→
g
l
(
V
)
,
T
↦
R
♭
T
{\displaystyle R_{\flat }:V\otimes V\rightarrow {\mathfrak {gl}}(V),\mathbf {T} \mapsto R_{\flat }\mathbf {T} \,}
L
♭
:
V
⊗
V
→
g
l
(
V
)
,
T
↦
L
♭
T
{\displaystyle L_{\flat }:V\otimes V\rightarrow {\mathfrak {gl}}(V),\mathbf {T} \mapsto L_{\flat }\mathbf {T} \,}
[來源請求]
前面已經分析過，
dim
(
V
⊗
V
)
=
n
2
{\displaystyle \dim(V\otimes V)=n^{2}\,}
根據引理2和引理1，我們就得到了
定理 映射
R
♭
:
V
⊗
V
→
g
l
(
V
)
{\displaystyle R_{\flat }:V\otimes V\rightarrow {\mathfrak {gl}}(V)\,}
L
♭
:
V
⊗
V
→
g
l
(
V
)
{\displaystyle L_{\flat }:V\otimes V\rightarrow {\mathfrak {gl}}(V)\,}
線性同構 。
這就是說，對於歐幾里得空間來說，它上面的並矢張量和線性變換可以互相等同。一般說來，用
R
♭
{\displaystyle R_{\flat }\,}
愛因斯坦 在相對論 中用所引入的指標升降法(儘管其中的線性空間是閔可夫斯基空間 ，但是方法是相似的)。具體來說，並矢張量是具有兩個上指標的二階反變張量，而線性變換則是一階協變一階反變的張量，
R
♭
{\displaystyle R_{\flat }\,}
L
♭
{\displaystyle L_{\flat }\,}
特別是，當
T
^
{\displaystyle {\hat {T}}\,}
恆等映射 時，
T
j
i
=
δ
j
i
{\displaystyle T_{\ j}^{i}=\delta _{j}^{i}\,}
推論 把
V
{\displaystyle V\,}
單位張量 （這是經典力學 中的叫法，在相對論 中則常常被稱為度規張量 的逆
R
♭
{\displaystyle R_{\flat }\,}
L
♭
{\displaystyle L_{\flat }\,}
g
i
j
e
i
e
j
{\displaystyle g^{ij}{\boldsymbol {e}}_{i}{\boldsymbol {e}}_{j}\,}
在上述討論過程中我們實際上沒有真正用到內積的正定性，而真正實質性的條件有兩點：（1）
F
=
R
{\displaystyle F=\mathbb {R} \,}
G
=
(
g
i
j
)
{\displaystyle G=(g_{ij})\,}
R
{\displaystyle \mathbb {R} \,}
非退化 的對稱雙線性型 的線性空間。相對論中所用到的閔可夫斯基空間就是這樣的。
^ Papanastasiou, Tasos C.; Georgios C. Georgiou, Andreas N. Alexandrou. Viscous Fluid Flow. CRC Press. 2000: pp. 26–27. ISBN 9780849316067 ^ Spencer, Anthony James Merrill. Continuum mechanics . Courier Dover Publications. 2004: pp. 19–20. ISBN 9780486435947 ^ Morse, Philip; Feshbach, Herman, Methods of theoretical physics, Part 2, McGraw-Hill: pp. 54–92, 1953, ISBN 978-0070433175 H. Goldstein, Classical Mechanics , 2nd ed., Addison-Wesley, Massachusetts 1980, p.194.
吳望一，《流體力學》上冊，北京：北京大學出版社，1982：1.13節，1.14節。
![{\displaystyle {\boldsymbol {vw}}={\Big (}\sum _{i}v^{i}{\boldsymbol {e}}_{i}{\Big )}{\Big (}\sum _{j}w^{j}{\boldsymbol {e}}_{j}{\Big )}{\stackrel {(5)}{=}}\sum _{i}{\Big [}(v^{i}{\boldsymbol {e}}_{i})\sum _{j}w^{j}{\boldsymbol {e}}_{j}{\Big ]}{\stackrel {(5)}{=}}\sum _{i}\sum _{j}(v^{i}{\boldsymbol {e}}_{i})(w^{j}{\boldsymbol {e}}_{j})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1933a6ab22747d9c78d0b384d39bbf077b088b0)
