二次型 (統計)

多元變量統計中,如果  為 隨機向量 是一個 對稱矩陣,則隨機變量  稱為  的二次型。

期望

二次型的期望可表示為,[1]

 

其中,   分別表示  期望值方差-協方差矩陣, tr 為矩陣的。其結果僅僅取決於是否存在   ;並且,  的正態性不是必要條件。

關於隨機變量的二次型參考書籍 [2]

證明

由於二次型是純量,所以二次型的跡就是它本身 

由於矩陣的跡是其對角線元素之和(即矩陣元素線性組合的結果),因此服從期望的線性,有

 

利用的可交換性,

 

由期望的線性可得

 

由方差的標準屬性可知:

 

再次應用的可交換性可得:

 

方差

通常情況下,二次型的方差在很大程度上取決於   的分佈。 然而,如果   服從多元正態分佈,則二次型的方差的求解非常容易。假設   是一個對稱矩陣,則有,

  [3].

事實上,這可以推廣到同一向量   的兩個二次型的協方差計算中 (注意,    必須都是對稱矩陣):

 

不對稱矩陣的方差計算

在某些參考資料中,在   為非對稱矩陣情況下,也錯誤地得到了上述方差/協方差的結果。 在一般情況下,  可以通過下面方式得到:

 

因此

 

但是,這一個二次型的對稱矩陣  ,所以其均值方差表達式相同,只是將   替換為  

二次型舉例

設有觀測值的集合   和運算矩陣  ,則  殘差平方和可表示為其二次型:

 

其中,矩陣   為對稱等冪的,其誤差為協方差矩陣為  高斯分佈,   為自由度是  卡方分佈,參數為  ,有

 
 

如果   在估計   時沒有偏差,則參數   為零且   服從中心卡方分佈

參考文獻

  1. ^ Douglas, Bates. Quadratic Forms of Random Variables (PDF). STAT 849 lectures. [August 21, 2011]. (原始內容存檔 (PDF)於2016-03-04). 
  2. ^ Mathai, A. M. & Provost, Serge B. Quadratic Forms in Random Variables. CRC Press. 1992: 424. ISBN 978-0824786915. 
  3. ^ 1934-, Rencher, Alvin C.,. Linear models in statistics. Schaalje, G. Bruce., Wiley InterScience (Online service) 2nd ed. Hoboken, N.J.: Wiley-Interscience. 2008. ISBN 9780471754985. OCLC 212120778. 

參看