亥姆霍茲線圈

亥姆霍茲線圈（Helmholtz coil）是一種製造小範圍區域均勻磁場的器件。由於亥姆霍茲線圈具有開敞性質，很容易地可以將其它儀器置入或移出，也可以直接做視覺觀察，所以，是物理實驗常使用的器件。因德國物理學者赫爾曼·馮·亥姆霍茲而命名。

一座裝配了亥姆霍茲線圈的物理儀器。

亥姆霍茲線圈示意圖。

簡介

亥姆霍茲線圈是由一對完全相同的圓形導體線圈組成。採用直角坐標系，這兩個半徑為$R$的圓形線圈的中心軸都與z-軸同軸。兩個圓形線圈的z-坐標分別為$h/2$與$-h/2$。每一個導體線圈載有同向電流$I$。

設定$h=R$可以使得在兩個線圈中心位置O（即原點）的磁場，其不均勻程度極小化。這動作促使$\partial ^{2}B/\partial z^{2}=0$，也意味着領先的非零微分項目是$\partial ^{4}B/\partial z^{4}$，稍後會對這論點做更詳細解釋。但是，這樣做仍舊會在線圈平面跟z-軸相交處與O點之間遺留大約7%磁場數值的差別。

在某些應用中，亥姆霍茲線圈可以用來抵消地磁場，製造出接近零磁場的區域。

數學描述

在亥姆霍茲線圈的二等分面的磁場線。注意到在兩個線圈之間的磁場近似均勻（在這電腦繪圖裏，線圈的中心軸是縱向的）。

沿着線圈中心軸（z-軸）的磁場。與兩個線圈同距離的中心位置的z-坐標為0。

等值線圖顯示出在亥姆霍茲線圈的磁場的數值大小。在中央的章魚區域內，磁場數值與中心位置的磁場數值$B_{0}$相差不超過1%。五條等值線的磁場數值分別為$0.5B_{0}$、$0.8B_{0}$、$0.9B_{0}$、$0.95B_{0}$、$0.99B_{0}$。

關於在空間任意位置的精確磁場計算，需要應用到貝索函數或橢圓函數與其相關技巧。沿着線圈的中心軸（z-軸），涉及到的計算比較簡單，可以應用泰勒展開，將磁場展開為$z$的冪級數。採用直角坐標系，以亥姆霍茲線圈的中心位置為z-軸的原點O。由於對於xy-平面的對稱性，奇數冪項目必等於零。經過調整兩個線圈之間的距離$h$，可以使得O點成為拐點，則可以保證$z^{2}$級項目為零，因此領先不均勻項目是$z^{4}$級項目。

在中心位置O點，磁場為

$B={\left({\frac {4}{5}}\right)}^{3/2}{\frac {\mu _{0}nI}{R}}$；

其中，$\mu _{0}$是磁常數。

推導

採用直角坐標系，設定單匝線圈的中心軸為z-軸，線圈平面與z-軸相交處為原點，則在z-軸的磁場以方程式表示為（這方程式可以從必歐-沙伐定律推導出來）

$B={\frac {\mu _{0}IR^{2}}{2(R^{2}+z^{2})^{3/2}}}$；

其中，$B$是磁場數值大小，$\mu _{0}$是磁常數，$I$是電流，$R$是線圈半徑，$z$是檢驗位置的z-坐標。

對於$n$匝線圈，磁場為

$B={\frac {\mu _{0}nIR^{2}}{2(R^{2}+z^{2})^{3/2}}}$。

現在改變系統為亥姆霍茲線圈，其中心位置為原點。原點與線圈平面之間的垂直距離為$R/2$，注意到每一個亥姆霍茲線圈有一對線圈，所以，總磁場為

$B={\frac {2\mu _{0}nIR^{2}}{2(R^{2}+(R/2)^{2})^{3/2}}}={\left({\frac {4}{5}}\right)}^{3/2}{\frac {\mu _{0}nI}{R}}$。

進階推導

更詳細地計算，沿着z-軸的磁場為兩個線圈的貢獻的疊加：

$\mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}IR^{2}}{2}}\left\{\left[R^{2}+(z-h/2)^{2}\right]^{-3/2}+\left[R^{2}+(z+h/2)^{2}\right]^{-3/2}\right\}{\hat {\mathbf {z} }}$。

在原點附近的磁場，經過一番運算，可以泰勒展開成$z$的冪級數：

$\mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}IR^{2}}{d^{3}}}\left[1+{\frac {3(h^{2}-R^{2})z^{2}}{2d^{4}}}+{\frac {15(h^{4}-6h^{2}R^{2}+2R^{4})z^{4}}{16d^{8}}}+\dots \right]{\hat {\mathbf {z} }}$；

其中，$d={\sqrt {R^{2}+h^{2}/4}}$。

現在設定$h=R$，則$z^{2}$項目為零，在原點附近的磁場更加均勻：

$\mathbf {B} ={\left({\frac {4}{5}}\right)}^{3/2}{\frac {\mu _{0}I}{R}}\left[1-{\frac {144}{125}}\ \left({\frac {z}{R}}\right)^{4}+\dots \right]{\hat {\mathbf {z} }}$。

磁場不均勻率與$z$的關係式為

${\frac {\Delta B_{z}}{B_{z}}}\approx -{\frac {144}{125}}\ \left({\frac {z}{R}}\right)^{4}$。

在$z=\pm R/2$，線圈平面與z-軸相交處，磁場數值的差別為

${\frac {\Delta B_{z}}{B_{z}}}\approx -{\frac {144}{125}}\ \left({\frac {1}{2}}\right)^{4}\approx -7\%$。

參閱

• 麥克斯韋線圈（Maxwell coils）
• 亥姆霍茲共鳴
• 螺線管
• 磁振造影

外部連結

• Helmholtz-Coil Fields （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） by Franz Kraft, The Wolfram Demonstrations Project.
• 加州大學洛杉磯分校的高中等離子實驗室網頁：單獨載流迴圈的磁場精確解 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）。