冪集

數學上，集合的冪集（英語：power set），定義為由該集合全部子集為元素構成的集合。給定集合 $S$，其冪集 ${\mathcal {P}}(S)$（或作$2^{S}$）以符號表示即為

${\mathcal {P}}(S):=\{U|U\subseteq S\}$。

在公理集合論（例如ZFC集合論）中，冪集公理假定了任何集合的冪集均存在。

${\mathcal {P}}(S)$的任何子集合${\mathcal {F}}$稱為$S$上的集族。

例子

若$S$是集合$\{a,b,c\}$，則$S$的全部子集如下：

• $\varnothing$（空集）
• $\{a\}$
• $\{b\}$
• $\{c\}$
• $\{a,b\}$
• $\{a,c\}$
• $\{b,c\}$
• $\{a,b,c\}$

因此$S$的冪集為

${\mathcal {P}}(S)=\{$$\varnothing$, $\{a\}$, $\{b\}$, $\{c\}$, $\{a,b\}$, $\{a,c\}$, $\{b,c\}$, $\{a,b,c\}$$\}\,\!$。

性質

容易證明冪集合必然含原集合的全集（因為集合自身也為集合的子集）和空集合（因為空集為任意集合的子集合）。

若$S$是有限集，有$|S|=n$個元素，那麼$S$的冪集有$|{\mathcal {P}}(S)|=2^{n}$個元素。我們也可以考慮集合元素為無限大的冪集，見康托爾定理。

集合$S$ 的冪集，加上並、交和補運算，就得出布林代數的原始例子。

事實上，我們可以證明所有有限布林代數都是同構於某有限集的冪集的布林代數。這結果雖然對無窮布林代數不成立，但是所有無窮布林代數都是某個冪集布林代數的子代數。

集合$S$ 的冪集與對稱差運算構成一個阿貝爾群（其中空集為單位元，每個集合的反元素為其本身），與交運算一起則構成交換半群。因此這兩個運算跟冪集（透過證明分配律）一起構成一個交換環。

2^S的記法

在集合論中，$X^{Y}$是由所有從$Y$到$X$的函數構成的集合。因為$2$可以定義為$\{0,1\}$（見自然數），$2^{S}$這集合包含了所有從$S$到$\{0,1\}$的函數。把$2^{S}$內的函數對應於由這函數給出的$1$的原像，可看出在$2^{S}$和${\mathcal {P}}(S)$之間存在對射，其中每個函數是${\mathcal {P}}(S)$中這函數所對應的子集的特徵函數。所以就集合論來說$2^{S}$和${\mathcal {P}}(S)$是相同的。

構造方法

從空集合開始，選擇包含某個元素或者不包含，所有每次增加兩種可能，每一層可能的元素不斷變為兩倍。

將${\mathcal {P}}(S)$的元素表示為n位二進制數；第n位表示包含或不含$S$的第n個元素。這樣的數總共有$2^{n}$個，見位數組。

相關研究

從冪集合探討無窮集合的勢之後，發現了[0,1] 區間內的所有實數是不可數的。後續依次引發了連續統假設、力迫法等研究。