初等函數
初等函數(基本函數)是由常函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數和反三角函數等經過有限次的有理運算(加、減、乘、除、乘方、開方)及有限次函數複合所產生、並且在定義域上能用一個方程式表示的函數。 [1]
一般來說,分段函數不是初等函數,因為在這些分段函數的定義域上不能用一個解析式表示。
初等函數的全體對算術運算、複合和微分(求導)是封閉的,但對求極限、無窮級數以及積分不封閉。只有劉維爾函數(初等函數及其積分)的全體對積分才是封閉的。
名稱來源
之所以稱這些函數為「初等函數」或「基本函數」(法語:fonction élémentaire),需要從微分代數的角度考慮。儘管「初等函數」這個概念最初是由約瑟夫·劉維爾引入的,但目前的通行定義是由約瑟夫·里特給出的:
一個微分域 ,定義為某一個域 再加上一個函數對函數的映射 。其中, 滿足以下條件:
在以上定義滿足時,一個函數 被稱為 上的初等函數,若且唯若該函數至少滿足以下三者之一:
- 是 上的代數函數;
- 是 上的指數性函數,意即 ;
- 是 上的對數性函數,意即 。
常函數
稱 為常數函數,其中C為常數,它的定義域為 。
冪函數
稱形如 的函數為冪函數,其中C, r為常數。冪函數的定義域與r的值有關,但是不管r取何值,該函數在 上總有意義。
指數函數
對數函數
稱形如 的函數為對數函數,其中 且 ,是指數函數 的反函數。該函數定義域為 ,值域為
三角函數
正弦函數
稱形如 的函數為正弦函數,它的定義域為 ,值域為 ,最小正周期為 。
餘弦函數
稱形如 的函數為餘弦函數,它的定義域為 ,值域為 ,最小正周期為 。
正切函數
稱形如 的函數為正切函數,它的定義域為 ,值域為 ,最小正周期為 。
餘切函數
稱形如 的函數為餘切函數,它的定義域為 ,值域為 ,最小正周期為 。
正割函數
稱形如 的函數為正割函數,它的定義域為 ,值域為 ,最小正周期為 。
餘割函數
反三角函數
其它常見初等函數
雙曲函數
反雙曲函數
反雙曲正弦函數:
反雙曲餘弦函數:
擴展閱讀
外部連結
- ^ 伍勝健. 数学分析 第一册. 北京大學出版社. 2009: 24. ISBN 9787301156858.