單純群
此條目介紹的是沒有非平凡正規子群的群。關於比群更廣義的結構，請見「么半群」。數學上的單純群（英語：Simple group）是指沒有非平凡正規子群的群。任意一個群如果不是單純群，都可以作進一步分解而得到一個非平凡正規子群及對應的商群。這個過程可以一直做下去。對於有限群，若爾當-赫爾德定理表明，這個分解過程可以得到該群的唯一的合成列（最多相差一個置換）。在2008年完成的有限單群分類工作是數學史上一個重要的里程碑。
定義
設 為群，如果其內的正規子群只有 本身與單位元 組成的群（平凡群） ，則稱之為單純群。
例子
有限單純群
循環群G = Z/3Z，即模3的同餘類在加法運算下形成的群是單純群。這是因為，若H是這個群的一個子群，則它的階一定是群G的階3的因數，因為3是質數，所以H只能是G或者平凡群。另一方面，群G=Z/12Z就不是單純群。因為任意阿貝爾群的子群一定是正規子群，且12為合數，故很容易找到它的一個非平凡正規子群。例如，由模12餘0，4，8的同餘類組成的子群就是它的一個階為3的正規子群。類似地，整數集 Z 與加法運算組成的群也不是單純群，由偶數集2Z和加法組成的群是它的一個非平凡正規子群[1]。
按照上面的方法可以證明，阿貝爾單純群只有質數階循環群。最小的非阿貝爾單純群是交錯群 ，它的階是60，而且可以證明每一個階為60的單純群都與 同構[2]。第二小的非阿貝爾單純群是射影特殊線性群 ，它的階是168。可以證明，階為168的單純群都與 同構[3][4]。
是有限體上的古典群的一個例子，它也是一個有限階李群。除了質數階循環群、交錯群和有限階李群（包括古典群和例外或纏繞李群）之外的有限單純群統稱為散在群，詳見有限單純群分類。
無限階單純群
無限階交錯群，即由整數的所有偶置換組成的群 是單純群。另一個無限階單純群的例子是域 上的射影特殊線性群 ，其中 。
相比之下，要構造有限生成的無限階單純群就困難得多，最早的例子由格雷厄姆·希格曼提出，它是希格曼群的子群[5]。 其它的例子包括湯普森群 T 和 V。有限表現無撓(torsion-free)的無限單純群被伯格-莫澤什(Burger-Mozes)構建。[6]
分類
到目前為止，未有對一般單純群進行分類的方法。
有限單純群
有限單純群的結構
群的非單性判據
西羅測試：設n為一正合數，p是它的一個質因子。 若在n的所有因數中只有 1 模p同餘於 1，則不存在階為n的單純群。
證明：如n為一質數冪，則階數為n的群有非平凡的中心[7]，因而不是單純群。若n不是質數冪，則階數為n的群的每一個西羅子群都是真子群，由西羅第三定理可知， 階數為n的群的西羅p-子群的個數模p同餘於1且為n的因數。但由上面的假設，這樣的數只有1，這表明該群只有一個西羅p-子群，因此，根據西羅定理，該西羅子群是正規子群。根據上面的討論，它又是一個真子群，從而它是階數為n的群的一個非平凡正規子群，所以階數為n的群不是單純群。
另一個證明一個群不是單群的方法是利用同態映射，因為對於一個群 而言，其子群 是正規子群，當且僅當 是某個關於 的同態映射的核。
重要性
「單純群」之「單」在於它們不能再化約為較容易處理的群，因為正規子群 可以對將 的一部分研究化約為對商群 與 的研究，而對單純群無法行此化約。
有限單純群之於有限群論，一如質數之於整數論；它們可以被視為有限群的基本構件。
參閱
參考文獻
- ^ Knapp (2006), p. 170
- ^ Rotman (1995), p. 226
- ^ Rotman (1995), p. 281
- ^ Smith & Tabachnikova (2000), p. 144
- ^ Higman, Graham, A finitely generated infinite simple group, Journal of the London Mathematical Society. Second Series, 1951, 26 (1): 61–64, ISSN 0024-6107, MR 0038348, doi:10.1112/jlms/s1-26.1.59
- ^ M. Burger and S. Mozes. " Lattices in product of trees." Publ. Math. IHES 92 (2000), pp.151–194.
- ^ 例如，參見P-群里的證明
教科書
- Knapp, Anthony W., Basic algebra, Springer, 2006, ISBN 978-0-8176-3248-9
- Rotman, Joseph J., An introduction to the theory of groups, Graduate texts in mathematics 148, Springer, 1995, ISBN 978-0-387-94285-8
- Smith, Geoff; Tabachnikova, Olga, Topics in group theory, Springer undergraduate mathematics series 2, Springer, 2000, ISBN 978-1-85233-235-8