吉布斯採樣
算法
吉布斯採樣（英語：Gibbs sampling）是統計學中用於馬爾科夫蒙特卡洛（MCMC）的一種算法，用於在難以直接採樣時從某一多變量概率分佈中近似抽取樣本序列。該序列可用於近似聯合分佈、部分變量的邊緣分佈或計算積分（如某一變量的期望值）。某些變量可能為已知變量，故對這些變量並不需要採樣。
吉布斯採樣常用於統計推斷（尤其是貝葉斯推斷）之中。這是一種隨機化算法，與最大期望算法等統計推斷中的確定性算法相區別。與其他MCMC算法一樣，吉布斯採樣從馬爾科夫鏈中抽取樣本，可以看作是Metropolis–Hastings算法的特例。
該算法的名稱源於約西亞·威拉德·吉布斯，由斯圖爾特·傑曼與唐納德·傑曼兄弟於1984年提出。[1]
演算法
吉布斯採樣適用於條件分佈比邊緣分佈更容易採樣的多變量分佈。假設我們需要從聯合分佈 中抽取 的 個樣本。記第 個樣本為 。吉布斯採樣的過程則為：
- 確定初始值 。
- 假設已得到樣本 ，記下一個樣本為 。於是可將其看作一個向量，對其中某一分量 ，可通過在其他分量已知的條件下該分量的概率分佈來抽取該分量。對於此條件概率，我們使用樣本 中已得到的分量 到 以及上一樣本 中的分量 到 ，即 。
- 重複上述過程 次。
在採樣完成後，我們可以用這些樣本來近似所有變量的聯合分佈。如果僅考慮其中部分變量，則可以得到這些變量的邊緣分佈。此外，我們還可以對所有樣本求某一變量的平均值來估計該變量的期望。
參見
參考文獻
- ^ Geman, S.; Geman, D. Stochastic Relaxation, Gibbs Distributions, and the Bayesian Restoration of Images. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. 1984, 6 (6): 721–741. doi:10.1109/TPAMI.1984.4767596.
- Bishop, Christopher M., Pattern Recognition and Machine Learning, Springer, 2006, ISBN 0-387-31073-8
- Bolstad, William M. (2010), Understanding Computational Bayesian Statistics, John Wiley ISBN 978-0-470-04609-8
- Casella, G.; George, E. I. Explaining the Gibbs Sampler. The American Statistician. 1992, 46 (3): 167. JSTOR 2685208. doi:10.2307/2685208.
- Gelfand, Alan E.; Smith, Adrian F. M., Sampling-Based Approaches to Calculating Marginal Densities, Journal of the American Statistical Association, 1990, 85 (410): 398–409, JSTOR 2289776, MR 1141740, doi:10.2307/2289776
- Gelman, A., Carlin J. B., Stern H. S., Dunson D., Vehtari A., Rubin D. B. (2013), Bayesian Data Analysis, third edition. London: Chapman & Hall.
- Levin, David A.; Peres, Yuval; Wilmer, Elizabeth L. (2008), "Markov Chains and Mixing Times", American Mathematical Society.
- Robert, C. P.; Casella, G. (2004), Monte Carlo Statistical Methods (second edition), Springer-Verlag.