外共變導數

數學中,外共變導數exterior covariant derivative),時或稱為共變外導數covariant exterior derivative),是流形上的微積分英語calculus on manifolds中一個非常有用的概念,它可能將利用主聯絡的公式化簡。

PM光滑流形 M 上一個G-叢。如果 P 上一個張量性 k-形式,則其外共變導數定義為:

這裏 h 表示到水平子空間的投影, 由聯絡定義,其為該纖維叢全空間切叢的 鉛直子空間)。這裏 P 上任何向量場。Dφ 是 P 上一個張量性 k+1 形式。

不像通常的外導數的平方是 0,我們有

這裏 表示曲率形式。特別的 平坦聯絡消沒。

物理學

若A是聯絡形式、f是函數,則外共變導數

 

 是矩陣函數(E是主叢;例如,屬於G的李代數),則外共變導數

 

而且,若F是曲率形式,則

 

比安基恆等式

 

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參考文獻