巴尼斯G函數

巴尼斯G函數超級階乘函數在複數上的擴展。它與Γ函數K函數以及格萊舍常數(Glaisher constant)有關。以數學家歐尼斯特·巴尼斯(Ernest William Barnes)的名字命名。[1]

巴尼斯G函數可以通用魏爾施特拉斯分解定理的形式定義為:

其中,γ表示歐拉-馬歇羅尼常數。

差分方程、函數方程與特殊值

巴尼斯G函數滿足差分方程

 

特殊地,G(1)=1. 從此方程可推出G取整數自變量時有:

 

因此,

 

其中, 表示Γ函數 表示K函數

另外,在滿足條件 時,差分方程唯一確定一個G函數。[2].

由G函數的差分方程和Γ函數的函數方程可以得到(由Hermann Kinkelin提出):

 

乘法公式

與Γ函數一樣,G函數也有其乘法公式: 

 

其中K是一個常數,定義為:

 

其中 表示黎曼ζ函數導函數 則表示為格萊舍常數。

 漸近展開為(由巴尼斯提出):

 

其中 為伯努利數, 為格萊舍常數。(需要注意的是,在巴尼斯的時代,伯努利數 習慣寫成 。)

相關條目

參考

  1. ^ E.W.Barnes, "The theory of the G-function", Quarterly Journ. Pure and Appl. Math. 31 (1900), 264-314.
  2. ^ M. F. Vignéras, L'équation fonctionelle de la fonction zêta de Selberg du groupe mudulaire SL , Astérisque 61, 235-249 (1979).