布盧姆公理

布魯姆公理（英語：Blum Axioms），或稱布魯姆複雜度公理（英語：Blum Complexity Axioms），是計算複雜性理論中，定義可計算函數的複雜度時，應滿足的條件。這些公理最先由曼紐爾·布魯姆於1967年提出。

重要的是，只要複雜度衡量滿足這些公理，布盧姆加速定理和間隙定理就成立。滿足這些公理的複雜度衡量裏，最有名的是有關時間（見時間複雜度）和空間（見空間複雜度）的複雜度。

定義

布魯姆複雜度衡量是一個二元組$(\varphi ,\Phi )$，其中$\varphi$是偏可計算函數集$\mathbf {P} ^{(1)}$的哥德爾編號，而$\Phi :\mathbb {N} \to \mathbf {P} ^{(1)}$是一個可計算函數，滿足以下的布魯姆公理。用$\varphi _{i}$表示哥德爾編號$\varphi$下的第i個偏可計算函數，$\Phi _{i}$表示偏可計算函數$\Phi (i)$。

1. 函數$\varphi _{i}$和$\Phi _{i}$的定義域相同。
2. 集合$\{(i,x,t)\in \mathbb {N} ^{3}|\Phi _{i}(x)=t\}$是遞歸的。

例子

在定義中，$\Phi _{i}(x)$應當理解成$i$所編碼的計算過程，在輸入為$x$時，所消耗的資源（例如時間、空間，或兩者的適當組合）。

• 若$\Phi$測量時間，則$(\varphi ,\Phi )$是複雜度衡量：需要的時間或計算量可計算，因為可以直接模擬。而第二條公理也成立，因為要判斷$\Phi _{i}(x)=t$是否成立，只需運行至多$t$步，所以總能在有限時間內判斷。
• 若$\Phi$測量空間（記憶體），則$(\varphi ,\Phi )$亦為複雜度衡量，但原因較時間複雜：當限制空間為$t$時，整個系統的可能狀態只有有限多個（例如若圖靈機有$q$個狀態，其紙帶有$s$種符號，則紙帶共只有$s^{t}$種可能性，最後乘上讀寫頭位置的$t$種可能性，整個系統只有$qs^{t}t$種可能性）。從而，只要模擬足夠長的時間，必有以下三者之一：
  • 計算結束；
  • 整個系統重複某個狀態，受困於無窮迴圈；
  • 超出空間限制$t$。

所以，在有限時間內，可以判斷$\Phi _{i}(x)=t$是否成立。

• 作為反例，$(\varphi ,\varphi )$並非一個複雜度衡量，因為其不滿足第二條公理。

與計算模型的關係

布盧姆的複雜度定義不取決於具體的計算模型，但也可以圖靈機的用語複述一次，幫助理解。

布魯姆複雜度衡量是將二元組（圖靈機$M$，輸入$x$）射去自然數或$\infty$的映射$\Phi$，其滿足以下公理（對應前述定義）：

1. $\Phi (M,x)$為$\infty$當且僅當$M(x)$不停機。
2. 有算法可以判斷，當輸入$(M,x,t)$時，是否有$\Phi (M,x)=t$。

例如，$\Phi (M,x)$可以是$M$輸入$x$時運行至停機所需的步數。按定義可知第一條公理成立。而且，用通用圖靈機模擬$M$輸入$x$並運行$t$步，就是滿足第二條公理條件的算法。

複雜度類

對於全可計算函數$f$，可計算函數的複雜度類可定義成

$C(f):=\{\varphi _{i}\in \mathbf {P} ^{(1)}|\forall x.\ \Phi _{i}(x)\leq f(x)\},$

$C^{0}(f):=\{h\in C(f)|\mathrm {codom} (h)\subseteq \{0,1\}\}.$

$C(f)$是所有複雜度小於$f$的可計算函數構成的集合。$C^{0}(f)$是複雜度比$f$小的布爾函數集合。若我們視這些函數為集合的指示函數，則可視$C^{0}(f)$為集合的複雜度類。