希格斯叢

數學中,希格斯叢是由全純向量叢E希格斯場(在E的自同態叢中取值的全純1-形式,滿足)組成的二元組Nigel Hitchin (1987[1]彼得·希格斯命名了場,因為它與希格斯玻色子相似。卡洛斯·辛普森後來引入了「希格斯叢」這一術語,以及條件(在希欽最初在黎曼曲面上的設置中此條件是空的)。[2]

希格斯叢可視作全純向量叢上平坦全純仿射聯絡的「簡化」,其中導數縮放至0。非阿貝爾霍奇對應指出,在合適的穩定性條件下,光滑射影復代數簇上的平坦全純聯絡範疇、此簇的基本群表示範疇、此簇上的希格斯叢範疇實際上等價。於是,可由較簡單的希格斯叢推導出關於平坦聯絡的規範理論結果。

歷史

希格斯叢由希欽 (1987)首次引入,[1]針對的是全純向量叢E在緊黎曼曲面上的情形。希欽的論文主要討論秩為2的向量叢(即纖維是2維向量空間)。秩2向量叢是希欽方程SU(2)叢的解空間。

黎曼曲面上的理論後由卡洛斯·辛普森推廣到底流形為緊凱勒流形的情形。維度設為1時,會退化成希欽的理論。

穩定性

希格斯叢理論中,穩定希格斯叢的概念尤為重要。為此要先定義 -不變子叢。

在希欽最初的討論中,若 K是黎曼曲面M上的規範叢),則標記為L的秩1子叢是 -不變的。則,當對E的每個 -不變子叢L,都有   其中 是黎曼曲面上復向量叢度數的通常表示,希格斯叢 就是穩定的。

另見

參考文獻

  1. ^ Hitchin, Nigel. The self-duality equations on a Riemann surface. London Mathematical Society. 1987, 55 (1): 59–126 [2022-11-10]. doi:10.1112/plms/s3-55.1.59. (原始內容存檔於2022-11-12). 
  2. ^ Simpson, Carlos. Higgs bundles and local systems (PDF). Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1992, 75 (1): 5–95 [10 November 2022]. S2CID 56417181. doi:10.1007/BF02699491. (原始內容存檔 (PDF)於2022-11-24).