托勒密全弦表

全弦表，也叫弦表，由古希臘天文學家，幾何學家及地理學家托勒密在其巨著《天文學大全》^[1]第一卷第11章里創建。這是一種三角函數表，用於數理天文學的計算工作。

從巴比倫時代起，一圓被分為360等分（度），托勒密繼承了古希臘天文學家喜帕恰斯的三角學工作，在他的7.5°遞增量7+1/2° = $π$ /24 弧度^[2]的弦表基礎上採用0.5°遞增量。托勒密參考了喜帕恰斯的12卷數學書，他的弦表更加完備，使用「度」的術語，構造了從0.5度到180度圓心角與對應的弦長，所以，該表共有360行。

托勒密《弦表》本質上是關於圓心角的正弦函數數值表。不同於現代三角函數值反映弦長與圓半徑的比例關係，托勒密「弦表」里是弦的實際長度，其計算是以圓的直徑120單位為參照。之所以選擇120，是儘可能避免分數的麻煩計算，因為當時還沒有發明出十進位制分數。

托勒密又把角的1°細化為60分，在《弦表》裏有被稱為「60分之一」的一欄，這是用半度的差值除以30所得到的平均數，供使用者插入分的弦長。

正因為托勒密的《天文學大成》廣為流行，造成了喜帕恰斯的數學書在公元4世紀以後失傳。所以，托勒密的「弦表」是西方現存的歷史最久遠的三角函數表。

托勒密構造的「弦表」在歐洲數學史上統治了一千多年，直到1592年瑞士鐘錶匠,天文學家和數學家和天文儀器製作師約斯特·比爾吉（Joost Bürgi）創建了更精細的「標準正弦表」（Canon Sinuum）。

弦長函數與弦表

Example: (10912)°弧度所對應的弦長約等於 98.

圓的弦是指任意一線段，其兩端都在圓周上。托勒密採用以 120為單位長度的圓直徑。弦長即n 度的圓弧度所對應的，n取值範圍從 1/2度到180度，增量為 1/2度。在現代數學表達中，對應於一圓弧θ 度的弦長是：

{\begin{aligned}&\operatorname {chord} (\theta )=120\sin \left({\frac {\theta ^{\circ }}{2}}\right)\\={}&60\cdot \left(2\,\sin \left({\frac {\pi \theta }{360}}{\text{ radians}}\right)\right).\end{aligned}}

隨着圓弧 θ 從零增加到180度，θ°所對應的弦長也從 0 增加到120。對於微小圓弧來說，弦長與弧度角之比為 $π$ 比3，更確切地講，只要把θ分成足夠小，該比率可以有任意近似度 $π$ /3 ≈ 7000104719754999999♠1.04719755。因此，對於1/2°圓弧來說，弦長稍微大於弧角度。隨着角度增加，弦長與角度之比在遞減。當角度達到60°時，弦長正好等於弧角度數，即弦長 60° = 60。當角度超過了60°，弦長小於角度，直到角度達到180°，這時弦長為 120。

弦長的分數部分是用六十進制數表達，例如，112°圓弧所對應的弦長據「弦表」有99 29 5，其長度為：

99+{\frac {29}{60}}+{\frac {5}{60^{2}}}=99.4847{\overline {2}},

取整後達到近似值 1/60².^[1]

在弧度欄和弦長欄之後，表裏有被標記為「60分之一」的第3個欄。對於 θ°的圓弧，第3欄數值為

{\frac {\operatorname {chord} \left(\theta +{\tfrac {1}{2}}^{\circ }\right)-\operatorname {chord} \left(\theta ^{\circ }\right)}{30}}.

這是一單位長的60分之一的平均數，當每次角度增加1分，就必須加到弦長(θ°)上，直到 (θ + 1/2)°。因此，第3欄數值用於線性插入。Glowatzki和Göttsche證明了托勒密肯定將弦長計算到5位六十進制數，才達到有第3欄這樣的精確程度。^[3]

{\begin{array}{|l|rrr|rrr|}\hline {\text{arc}}^{\circ }&{\text{chord}}&&&{\text{sixtieths}}&&\\\hline {}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\tfrac {1}{2}}&0&31&25&0\quad 1&2&50\\{}\,\,\,\,\,\,\,1&1&2&50&0\quad 1&2&50\\{}\,\,\,\,\,\,\,1{\tfrac {1}{2}}&1&34&15&0\quad 1&2&50\\{}\,\,\,\,\,\,\,\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\109&97&41&38&0\quad 0&36&23\\109{\tfrac {1}{2}}&97&59&49&0\quad 0&36&9\\110&98&17&54&0\quad 0&35&56\\110{\tfrac {1}{2}}&98&35&52&0\quad 0&35&42\\111&98&53&43&0\quad 0&35&29\\111{\tfrac {1}{2}}&99&11&27&0\quad 0&35&15\\112&99&29&5&0\quad 0&35&1\\112{\tfrac {1}{2}}&99&46&35&0\quad 0&34&48\\113&100&3&59&0\quad 0&34&34\\{}\,\,\,\,\,\,\,\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\179&119&59&44&0\quad 0&0&25\\179{\frac {1}{2}}&119&59&56&0\quad 0&0&9\\180&120&0&0&0\quad 0&0&0\\\hline \end{array}}

托勒密《弦表》的構造方法

《天文學大全》卷一第10章介紹用於弦長計算的幾何定理。托勒密根據歐幾里得《幾何原本》卷十三里的定理10，來做幾何推理，以求出72°和36°所對應的弦長。該定理是說：如果某圓有一內切正五邊形，那麼五邊形每個邊長的平方等於同一圓內切六邊形和十邊形邊長平方之和。

他發明了關於圓內接四邊形的托勒密定理，用來推導半弧、兩弧相加及兩弧相減所分別對應的弦長。該定理闡述，在圓的內接四邊形中，兩對角線長度相乘結果等於另兩邊的對角線長度的相乘結果。三角推導值取決於內接圓四邊形，其中一邊是圓的直徑。

對於圓弧1°和1/2°所對應的弦長，他採用根據阿里斯塔克斯不等式求出的近似值，該不等式是說，對於α 、β兩弧，如果0<β<α<90°，那麼

{\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}<{\frac {\alpha }{\beta }}<{\frac {\tan \alpha }{\tan \beta }}.

托勒密在表中顯示了，對於長度為1° 和1/2°的圓弧，在其整數部分後給出了近似正確的頭兩位60進制數值。

數值系統以及原始表格

圓弧用度表述，其所對應的弦長的整數部分採用十進制的計數系統，21個希臘字母意義如下，並有 "∠′ "代表分數1/2。抬升上去的圓圈"○"佔據一空位，實際上就表示零。還有兩個以前用的希臘古字母，見下表，在好幾個世紀都沒再用，《天文學大全》重新使用。如今還在當成數字和古希臘音樂的樂符使用。

{\begin{array}{|rlr|rlr|rlr|}\hline \alpha &\mathrm {alpha} &1&\iota &\mathrm {iota} &10&\rho &\mathrm {rho} &100\\\beta &\mathrm {beta} &2&\kappa &\mathrm {kappa} &20&\vdots &\vdots &\vdots \\\gamma &\mathrm {gamma} &3&\lambda &\mathrm {lambda} &30&&&\\\delta &\mathrm {delta} &4&\mu &\mathrm {mu} &40&&&\\\varepsilon &\mathrm {epsilon} &5&\nu &\mathrm {nu} &50&&&\\\mathrm {\stigma} &\mathrm {stigma\ (archaic)} &6&\xi &\mathrm {xi} &60&&&\\\zeta &\mathrm {zeta} &7&\mathrm {o} &\mathrm {omicron} &70&&&\\\eta &\mathrm {eta} &8&\pi &\mathrm {pi} &80&&&\\\theta &\mathrm {theta} &9&\mathrm {\koppa} &\mathrm {koppa\ (archaic)} &90&&&\\\hline \end{array}}

舉例來說，一圓弧143+1/2° 表示為 ρμγ∠′。(《弦表》一共到180°，因此不使用200及以上的希臘數字)。

弦長的分數部分需要較大的精確性，分為兩欄，第一欄是1/60的整數倍，取值範圍0–59，第二部分是1/60²= 1/3600的整數倍，取值範圍也是0–59。

在Heiberg版本的《天文學大全》裏[1] （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館），在48–63頁有弦表。表的開頭是1/2°度，然後是7+1/2°, ，希臘語版本是：

{\begin{array}{ccc}\pi \varepsilon \rho \iota \varphi \varepsilon \rho \varepsilon \iota {\tilde {\omega }}\nu &\varepsilon {\overset {\text{'}}{\nu }}\theta \varepsilon \iota {\tilde {\omega }}\nu &{\overset {\text{`}}{\varepsilon }}\xi \eta \kappa \mathrm {o} \sigma \tau {\tilde {\omega }}\nu \\{\begin{array}{|l|}\hline \quad \angle '\\\alpha \\\alpha \;\angle '\\\hline \beta \\\beta \;\angle '\\\gamma \\\hline \gamma \;\angle '\\\delta \\\delta \;\angle '\\\hline \varepsilon \\\varepsilon \;\angle '\\\mathrm {\stigma} \\\hline \mathrm {\stigma} \;\angle '\\\zeta \\\zeta \;\angle '\\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|r|r|r|}\hline \circ &\lambda \alpha &\kappa \varepsilon \\\alpha &\beta &\nu \\\alpha &\lambda \delta &\iota \varepsilon \\\hline \beta &\varepsilon &\mu \\\beta &\lambda \zeta &\delta \\\gamma &\eta &\kappa \eta \\\hline \gamma &\lambda \theta &\nu \beta \\\delta &\iota \alpha &\iota \mathrm {\stigma} \\\delta &\mu \beta &\mu \\\hline \varepsilon &\iota \delta &\delta \\\varepsilon &\mu \varepsilon &\kappa \zeta \\\mathrm {\stigma} &\iota \mathrm {\stigma} &\mu \theta \\\hline \mathrm {\stigma} &\mu \eta &\iota \alpha \\\zeta &\iota \theta &\lambda \gamma \\\zeta &\nu &\nu \delta \\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|r|r|r|r|}\hline \circ &\alpha &\beta &\nu \\\circ &\alpha &\beta &\nu \\\circ &\alpha &\beta &\nu \\\hline \circ &\alpha &\beta &\nu \\\circ &\alpha &\beta &\mu \eta \\\circ &\alpha &\beta &\mu \eta \\\hline \circ &\alpha &\beta &\mu \eta \\\circ &\alpha &\beta &\mu \zeta \\\circ &\alpha &\beta &\mu \zeta \\\hline \circ &\alpha &\beta &\mu \mathrm {\stigma} \\\circ &\alpha &\beta &\mu \varepsilon \\\circ &\alpha &\beta &\mu \delta \\\hline \circ &\alpha &\beta &\mu \gamma \\\circ &\alpha &\beta &\mu \beta \\\circ &\alpha &\beta &\mu \alpha \\\hline \end{array}}\end{array}}

表中的10進制數字代表圓弧及弦長的整數部分，因此，85°的圓弧用 πε表達 (π 代表80，ε代表5)，並不分解為60+25。相應的弦長是整數81再加上分數部分。整數部分用 πα開始，同樣也不分解為60+21，但其分數部分4/60+15/60²在 1/60欄里寫成 δ，代表 4，然後是 ιε，代表15，在1/60² 一欄里。

{\begin{array}{ccc}\pi \varepsilon \rho \iota \varphi \varepsilon \rho \varepsilon \iota {\tilde {\omega }}\nu &\varepsilon {\overset {\text{'}}{\nu }}\theta \varepsilon \iota {\tilde {\omega }}\nu &{\overset {\text{`}}{\varepsilon }}\xi \eta \kappa \mathrm {o} \sigma \tau {\tilde {\omega }}\nu \\{\begin{array}{|l|}\hline \pi \delta \angle '\\\pi \varepsilon \\\pi \varepsilon \angle '\\\hline \pi \mathrm {\stigma} \\\pi \mathrm {\stigma} \angle '\\\pi \zeta \\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|r|r|r|}\hline \pi &\mu \alpha &\gamma \\\pi \alpha &\delta &\iota \varepsilon \\\pi \alpha &\kappa \zeta &\kappa \beta \\\hline \pi \alpha &\nu &\kappa \delta \\\pi \beta &\iota \gamma &\iota \theta \\\pi \beta &\lambda \mathrm {\stigma} &\theta \\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|r|r|r|r|}\hline \circ &\circ &\mu \mathrm {\stigma} &\kappa \varepsilon \\\circ &\circ &\mu \mathrm {\stigma} &\iota \delta \\\circ &\circ &\mu \mathrm {\stigma} &\gamma \\\hline \circ &\circ &\mu \varepsilon &\nu \beta \\\circ &\circ &\mu \varepsilon &\mu \\\circ &\circ &\mu \varepsilon &\kappa \theta \\\hline \end{array}}\end{array}}

此表分為8頁，每頁有45行，總共360行。

參見

Aryabhata正弦表
Exsecant
Fundamentum Astronomiae這本書規定了正弦的精確計算方法，於16世紀晚期出版。
希臘數學
Madhava正弦表
托勒密
Scale of chords
Versine

參考

^ ^1.0 ^1.1 Toomer, G. J., Ptolemy's Almagest, Princeton University Press, 1998, ISBN 0-691-00260-6
^ Thurston, pp. 235–236.
^ Ernst Glowatzki and Helmut Göttsche, Die Sehnentafel des Klaudios Ptolemaios. Nach den historischen Formelplänen neuberechnet., München, 1976.

Aaboe, Asger, Episodes from the Early History of Mathematics, Mathematical Association of America, 1997, ISBN 978-0-88385-613-0
Clagett, Marshall, Greek Science in Antiquity, Courier Dover Publications, 2002, ISBN 978-0-8369-2150-2
Neugebauer, Otto, A History of Ancient Mathematical Astronomy, Springer-Verlag, 1975, ISBN 978-0-387-06995-1
Olaf Pedersen (1974) A Survey of the Almagest, Odense University Press ISBN 87-7492-087-1
Thurston, Hugh, Early Astronomy, Springer, 1996, ISBN 978-0-387-94822-5

外部連結

J. L. Heiberg Almagest （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, Table of chords on pages 48–63.
Glenn Elert Ptolemy's Table of Chords: Trigonometry in the Second Century （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
Almageste in Greek and French, at the internet archive.

[toomer-1] 1.0 ^1.1 Toomer, G. J., Ptolemy's Almagest, Princeton University Press, 1998, ISBN 0-691-00260-6

[2] Thurston, pp. 235–236.

[3] Ernst Glowatzki and Helmut Göttsche, Die Sehnentafel des Klaudios Ptolemaios. Nach den historischen Formelplänen neuberechnet., München, 1976.

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