指示函數

集合論中,指示函數是定義在某集合X上的函數,表示其中有哪些元素屬於某一子集A。指示函數有時候也稱為示性函數特徵函數

X的子集A的指示函數是函數,定義為

 若
 若

A的指示函數也記作

簡單性質

X的子集A對應到它的指示函數的映射是雙射,值域是所有函數 的集合。

如果ABX的兩個子集,那麼

 

以及

 

更一般地,設A1, ..., AnX的子集。對任意 ,可知

 若且唯若x不屬於任何Ak

故有

 

展開左式

   
 

其中|F|是F。這是容斥原理的一個形式。

如上一例子所示,指示函數是組合數學一個有用記法。這記法也用在其他地方,例如在概率論:若X概率空間,有概率測度PA可測集,那麼1A就是隨機變量,其期望值等於A的概率。

 

這等式用於馬爾可夫不等式的一個簡單證明裏。