數學,特別是抽象代數,有限環(Finite ring)是一個環(不一定有乘法的單位元)元素的數量有限的環。每一個有限域是有限環的一個特例,每一個有限環加法群,是一個有限阿貝爾群有限環的概念是比較新的。

1964年在《美國數學月刊》上,大衛·辛馬斯特(David Singmaster)提出了以下問題:「(1)不是的非平凡有單位元環有何種結構,已經找出兩個這種四階環,還有不同的四階環嗎?(2)四階環有多少?」

一個解決方案由D.M. 布魯姆(D.M. Bloom)在《美國數學月刊》(71:919-20)證明,得出結論:有11個四階環,其中四個有乘法單位元。事實上,四階環種類多少介紹了問題的複雜性,在四階群的一類四階循環群C4上有三種四階環,在在四階群的另一類克萊因四元群上有八種四階環。

在同一雜誌《美國數學月刊》(75:512-14)的由K.艾爾德瑞志(K. Eldrige)在1968年對有限環的非交換性得出兩個定理:如果有單位元1的有限環的階有一個3次分解,它是可交換的。非交換有單位元1的有限環,如果是一個素數P的3次方,那麼這環同構於這素數伽羅瓦域的上三角2×2矩陣環

由R.雷格哈文德拉(R. Raghavendra)在1969年對素數P的3次階方的環的研究得到了進一步發展。在1973年羅伯特·吉爾默和喬·莫特也發表了論文《素數p的3次階方的結合環》。弗洛爾和威森鮑爾對素數P的3次階方的環又有推進(1975),明確的結論是通過同構類來進行的。由V.G.安提普金和V.P.艾利查洛夫(1982)寫在《西伯利亞數學雜誌》(23:457-64)。他們證明:p > 2,數目是p3+50。 綜上環結構的研究已有成果如下: 凡素階環都2個 凡兩素素乘階環都4個 凡素階環平方都11個 凡素階環平方與一素數乘階都22個 8階環52個 大於是的素數3次方階環個數為3p + 50

韋德伯恩定理

對於環R的任一元素r,如果存在大於1的正整數n,使得下式成立,則必為交換環n > 1 如果 rn = r, 則必為交換環

另一方面,有限單群分類定理是二十世紀數學的一個重大突破,其證明跨越成千上萬的雜誌頁面,這重大突破使有限環的分類難度大為降低。

  • n個元素的環不同種類個數有數列:1, 1, 2, 2, 11, 2, 4, 2, 52, 11, 4, 2, 22, 2, 4, 4, 390, 2, 22, 2, 22, 4, 4, 2, 104, 11, 4, 59, 22, 2, 8, 2....

參考文獻