朗斯基行列式

數學中,朗斯基行列式(Wronskian)名自波蘭數學家約瑟夫·瑪麗亞·何內-朗斯基,是用於計算微分方程解空間函數

對於給定的 nn-1連續可微函數,f1、...、fn,它們的朗斯基行列式 W(f1, ..., fn) 為:

行列式的第 i 列是f1、...、fn 各函數的 i-1導數。組成這個行列式的 n方陣也稱作這 n 個函數的基本矩陣

在解線性微分方程時,朗斯基行列式可以用阿貝爾恆等式來計算。

朗斯基行列式與線性無關解

朗斯基行列式可以用來確定一組函數在給定區間上的線性相關性。

對於 nn-1連續可微函數 f1、...、fn,它們的朗斯基行列式 W(f1, ..., fn) :

 

定理:

如果 f1、...、fn 在一個區間 [a, b] 上線性相關,則 W(f1, ..., fn) 在區間 [a, b] 上恆等於零

也就是說,如果在某些點上 W(f1, ..., fn) 不等於零,則 f1、...、fn 線性無關

注意,若 W(f1, ..., fn) 在區間 [a,b] 上恆等於零,函數組不一定線性相關。

齊次線性微分方程

考慮 n 階線性微分方程

 

其中 是區間 [a,b] 上的連續函數。並考慮 ,即 n 階齊次線性微分方程的情形:

 

對於一組給定的初始值:

 

方程 (1) 有唯一解 。如果初始值不定的話,(2) 的任一解加上 仍然是 (1) 的解。而對於 (2) ,任意k個 (2) 的解的和仍然是 (2) 的解,因此 (2) 的解集構成一個線性空間,稱為 (2) 的解空間

定理的證明

如果 f1、...、fn 在一個區間 [a,b] 上線性相關,則存在不全為零的係數 使得對區間 [a,b] 上的任意 t

 

因為「微分」是線性算子,所以這個等式可以「延伸」到n-1階導數。故有以下方程組:

 

 看作變量,則上式變為一個 n 元齊次線性方程組,由於這個方程有非零解,係數矩陣的行列式 W(f1, ..., fn) = 0。

進一步可以證明, W(f1, ..., fn) 要麼在區間 [a,b] 上恆等於零,要麼處處不為零(沒有零根)。於是可以證明 (2) 有 n 個線性無關的解,並且它們線性張成的空間就是 (2) 的解空間。所以, (2) 的解空間是一個 n 維線性空間。 (2) 一組 n 個線性無關的解稱作它的一個基本解組

例子

1. 考慮三個函數:1、xx2,在任意一個區間上,他們的朗斯基行列式是:

 

不等於零,因此,這三個函數在任一個區間上都是線性無關的。

2.考慮另三個函數:1、x2和2x2+3,在任意一個區間上,他們的朗斯基行列式是:

 

事實上三者線性相關。

3.上面已經提到,朗斯基行列式等於零的函數組不一定線性相關。下面是一個反例:考慮兩個函數,x3和|x3|,即x3絕對值。計算兩者的朗斯基行列式

 

他們的朗斯基行列式恆等於零,但兩者顯然線性無關。

參考

外部連結