概週期函數

數學中,概週期函數(或殆週期函數)是一類有近似於週期性質的函數,是連續週期函數的推廣。不同的週期函數由於週期不盡相同,其乘積不一定再是週期函數。概週期函數儘管未必有嚴格的週期性,但可擁有一些比週期函數更好的性質。這一概念首先於1925年被丹麥數學家哈那德·玻爾引進,後來赫曼·外爾貝西科維奇等人也有研究和推廣[1]貝西科維奇英語Abram Samoilovitch Besicovitch因概週期函數方面的貢獻獲得了1931年劍橋大學亞當斯獎英語Adams Prize[2]

定義

概週期函數有若干個等價定義。根據哈那德·玻爾引進的分析學上的定義,一個定義域在實數體上的連續函數  如果滿足:對任意正實數 ,都存在實數 ,使得任意長度為  的區間裏至少存在一個數 ,使得對於任意的 ,都有:

 [3]

在高維歐幾里得空間 中,也可以定義類似的概週期向量函數。

按照定義,所有週期函數都是概週期函數。

值域在復平面上的概週期函數與三角多項式函數有密切關係。哈那德·玻爾首先注意到這類型的函數是在研究有限項狄利克雷級數的時候。當把黎曼ζ函數:ζ(s) 截出有限項後,得到的是一些形如

 

的項。其中的 。如果只考慮復平面上的一條豎直的直線(也就是說固定s 的實數部份 ,而實數  在正負無窮大之間變動),那麼實際上每一項變成:

 

如果只觀察有限個這樣的函數的和(以避免  時的解析開拓的問題),那麼由於對不同的n 是線性無關的,這個和不再是一個週期函數。

在相關研究中,哈那德·玻爾開始注意形如:

 

三角多項式函數。它是若干個週期互不相同的週期函數 的和。於是概週期函數的另一個定義出現了:如果對每個 ,都存在三角多項式函數: ,使得對於任意的 ,都有:

 

可以證明,這個定義與第一個定義是等價的[1]

例子

考慮若干三角多項式函數:

 

其中 複數。每一個  都是週期函數,因此有限個  的和仍然是概週期函數。然而,對於某些和函數,比如說:

 

 不是週期函數,但仍然是概週期函數。

性質

  • 如同週期函數一樣,任何概週期函數都是有界的, 且均勻連續。
  • 如果  是概週期函數,那麼對於任意實數      也是概週期函數。
  • 如果   都是概週期函數,那麼    都是概週期函數。
  • 如果  是概週期函數,   的值域到 上的均勻連續函數, 則 也是概週期函數。
  • 如果概週期函數的序列 在實軸上均勻收斂於函數  ,則  也是概週期函數。
  • 如果  是概週期函數, 則  為概週期函數的充分必要條件是  的導函數  均勻連續。
  • 如果  是概週期函數, ,則  為概週期函數的充要條件為  有界[3][1]

參看

參考書籍

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 C. Corduneanu. Almost periodic functions. American Mathematical Society. 1989. ISBN 978-0-828-40331-3. 
  2. ^ A.S. Besicovitch (1932), Almost periodic functions , Cambridge Univ. Press
  3. ^ 3.0 3.1 汪宏喜. 概周期函数及其主要性质 (PDF). 《工科數學》. 1997,. 第13卷第2期 [2010-03-18]. (原始內容 (PDF)存檔於2016-03-04).