波萊爾-坎泰利引理

波萊爾-坎泰利引理概率論中的一個基本結論。大致上,波萊爾-坎泰利引理說明了,如果有無窮概率事件,它們發生的概率之和是有限的,那麼其中的無限多個事件一同發生的概率是零。這個定理實際上是測度論的結論在概率論中的應用,得名於數學家埃米爾·波萊爾弗朗西斯科·保羅·坎泰利

概率空間中的定理

 為某個概率空間中的一個事件序列。波萊爾-坎泰利引理說明: 如果所有的事件 發生的概率 的總和是有限的,

 

那麼它們之中有無限多個同時發生的概率等於零:

 

其中的 是指一個事件序列的上極限。由於每一個事件都是若干個可能結果的集合,所以 就是指使得序列 裏面有無限多個事件一起發生的結果(outcome,或稱樣本輸出 的集合。準確來說,

 

證明

設(En)是某個概率空間里的一系列事件。假設這些事件發生的概率之和是有限的:

 

這等價於說,正項無窮級數 收斂。所以,根據無窮級數的性質,級數的餘項 的下極限是0:

 

因此,

 [1]

推廣

對於更一般的概率空間,波萊爾-坎泰利引理可以敘述如下:

設μ是一個集合X上的測度,裝備了σ-代數F。設(An)為F中的一個序列。如果:
 
那麼,
 

參考來源

  • Prokhorov, A.V., Borel–Cantelli lemma, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
  • Feller William, An Introduction to Probability Theory and Its Application, John Wiley & Sons, 1961 .
  • Stein Elias, Harmonic analysis: Real-variable methods, orthogonality, and oscillatory integrals, Princeton University Press, 1993 .
  • Bruss, F. Thomas, A counterpart of the Borel Cantelli Lemma, J. Appl. Prob., 1980, 17: 1094–1101 .
  • Durrett, Rick. "Probability: Theory and Examples." Duxbury advanced series, Third Edition, Thomson Brooks/Cole, 2005.