泰勒斯定理

泰勒斯定理(英語:Thales' theorem)以古希臘思想家、科學家、哲學家泰勒斯的名字命名,其內容為:若A, B, C圓周上的三,且AC是該圓的直徑,那麼∠ABC必然為直角。或者說,直徑所對的圓周角是直角。該定理在歐幾里得幾何原本》第三卷中被提到並證明[1]

泰勒斯定理:如果AC是直徑,那麼∠ABC是直角。

泰勒斯定理的逆定理同樣成立,即:直角三角形中,直角的頂點在以斜邊為直徑的圓上。

證明

證法一

以下證明主要使用兩個定理:

O圓心,因為OA = OB = OC,所以△OAB和△OBC都是等腰三角形。因為等腰三角形底角相等,故有∠OBC = ∠OCB,且∠BAO = ∠ABO。設α = ∠BAOβ = ∠OBC。在△ABC中,因為三角形的內角和等於180°,所以有

 
 
 
 

證法二

泰勒斯定理也可以用三角學方法證明,證明如下:

O =(0, 0), A =(-1, 0), C =(1, 0)。此時,B就是單位圓 上的一點。我們將通過證明ABBC 垂直,即它們的斜率之積等於–1,來證明這個定理。計算ABBC的斜率:

 
 

並證明它們的積等於–1:

 

注意以上證明過程中運用了畢達哥拉斯三角恆等式 

逆定理的證明

此證明使用兩線的向量形成直角三角形若且唯若內積為零。設有直角三角形ABC,和以AC為直徑的圓O。設O在原點,以方便計算。則ABBC的內積為:

 
 

AB與圓心等距,即B在圓上。

一般化以及有關定理

泰勒斯定理是「同弧所對的圓周角圓心角的一半」的一個特殊情況。

以下是泰勒斯定理的一個相關定理:

如果AC是一個圓的直徑,則:
  • B在圓內,則∠ABC > 90°
  • B在圓上,則∠ABC = 90°
  • B在圓外,則∠ABC < 90°

歷史

泰勒斯並非此定理的首名發現者,古埃及人和巴比倫人一定已知這特性,可是他們沒有給出證明。

參考文獻

  1. ^ Heath, Thomas L. The thirteen books of Euclid's elements. New York, NY [u.a.]: Dover Publ. 1956: 61. ISBN 0486600890.