玫瑰線

玫瑰線是極坐標系中的正弦曲線，可以用以下的方程來表示：

七個瓣的玫瑰線

八個瓣的玫瑰線（k=4）

各種各樣的玫瑰線

$\!\,r=\cos(k\theta ).$

如果k是偶數，玫瑰線就有2k個瓣，如果k是奇數，則有k個瓣。

如果k是有理數，玫瑰線就是封閉的，其長度有限。如果k是無理數，則曲線不是封閉的，長度為無窮大。在這種情況下，玫瑰線的圖形便形成了一個稠密集。

由於對於所有的$\theta$，都有：

$\sin(k\theta )=\cos \left(k\theta -{\frac {\pi }{2}}\right)=\cos \left(k\left(\theta -{\frac {\pi }{2k}}\right)\right)$

因此由以下方程所確定的玫瑰線

$\,r=\sin(k\theta )$和$\,r=\cos(k\theta )$

除了角度的不同以外，是全等的。

面積

由以下方程所確定的玫瑰線

$r=a\cos(k\theta )\,$

其中k是正整數，具有面積：

${\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }(a\cos(k\theta ))^{2}\,d\theta ={\frac {a^{2}}{2}}\left(\pi +{\frac {\sin(4k\pi )}{4k}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{2}}$

如果k是偶數；

${\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }(a\cos(k\theta ))^{2}\,d\theta ={\frac {a^{2}}{2}}\left({\frac {\pi }{2}}+{\frac {\sin(2k\pi )}{4k}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{4}}$

如果k是奇數。

相同的公式也適用於以下形式的玫瑰線：

$r=a\sin(k\theta )\,$

參見

• 利薩茹曲線
• 四葉線──k=2時的玫瑰線。

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. Rose. MathWorld.