確定雙線性形式

在數學中，確定雙線性形式（Positive-definite bilinear form）是雙線性形式B使得

B(x, x)

在x不是0的時候有固定的符號（或正或負）。

要給出形式定義，設K是域R（實數）或C（複數）之一。假設V是在K上的向量空間，並且

B : V × V → K

是Hermitian形式的雙線性形式，在B(x, y)總是B(y, x)的復共軛的意義上。如果

B(x, x) > 0 ，則B被稱為正定

對於所有V中的非零x。如果B(x, x) ≥ 0對於所有x，B被稱為正半定。負定和負半定雙線性形式也類似的定義。如果B(x, x)取正和負值二者，它叫做不定的。

作為一個例子，設V=R²，並考慮雙線性形式

$B(x,y)=c_{1}x_{1}y_{1}+c_{2}x_{2}y_{2}$

這裏的$x=(x_{1},x_{2})$, $y=(y_{1},y_{2})$，而$c_{1}$和$c_{2}$是常數。如果$c_{1}>0$且$c_{2}>0$，雙線性形式$B$是正定的。如果這些常數中的一個是正數而其他的是零，則$B$是正半定的。如果$c_{1}>0$且$c_{2}<0$，則$B$是不定的。

給定一個Hermitian雙線性形式$B$，函數

$Q(x)=B(x,x)$

是二次形式。$B$的確定性定義同$Q.$的相應定義一樣。

在內積空間上的自伴隨算子A是正定的，如果

(x, Ax) > 0對於所有非零向量x。

參見

• 正定函數
• 正定矩陣