數學中,給出可測空間和其上的測度,可以獲得積可測空間和其上的積測度。概念上近似於集合的笛卡兒積和兩個拓撲空間的積拓撲。
設
和
是兩個測度空間,就是說
和
分別是在
和
上的σ代數,又設
和
是其上的測度。以
記形如
的子集產生的笛卡兒積
上的σ代數,其中
及
。
積測度
定義為在可測空間
上唯一的測度,適合
![{\displaystyle (\mu _{1}\times \mu _{2})(B_{1}\times B_{2})=\mu _{1}(B_{1})\mu _{2}(B_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb0a4165c141bec76e67f9e443bf5db9abb5b82b)
對所有
。
事實上對所有可測集E,
,
其中
,
,兩個都是可測集。
這測度的存在性和唯一性是得自哈恩-柯爾莫哥洛夫定理.
歐幾里得空間Rn上的博雷爾測度可得自n個實數軸R上的博雷爾測度的積。
參考文獻