算學啟蒙

《算學啟蒙》上中下三卷，元代大德己亥（1299年）朱世杰撰，共20門，凡259問，所採用的名詞術語，多與《四元玉鑒》為表裏，由卷首列的籌算布列規則，直到天元術、垛積術、招差術，由淺入深，循序漸進，名為啟蒙，實為《四元玉鑒》的導引。。《算學啟蒙》卷首有淮楊數學家趙元鎮的序。趙元鎮也曾出資替朱世杰刻印《四元玉鑒》。

算學啟蒙書影

卷首總括

卷首有《總括》：釋九數法，九歸除法……明開方法等18項.

《總括》為全書的預備知識，包括各種口訣，釋九數法，九歸除法……明開方法，幾種常用圓周率的近似值和度量衡的定義等共18項。

1. 釋九數法：列出九九表，一一如一，一二如二……九九八十一。
2. 九歸除法：一歸如一，見於進成十，二一添作五，逢二進成十，三一三十一……九歸隨身下，逢九進成十。
3. 斤下留法：將兩變斤，以如下口訣代替 除16：一退六二五 0.0625），二留一二五（0.125）……十五留九三七五（0.9375）。
4. 明縱橫訣：布列算籌規則：一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當，滿六已上，五在上方，六不聚積，五不單張……若明此訣，可習九章。
5. 大數之類：一十百千萬億兆京郂……萬萬不可思議曰無量數。
6. 小數之類：分釐毫絲忽微纖沙埃塵……萬萬空曰虛，萬萬清曰空，萬萬淨曰清……
7. 求諸率類
8. 斛鬥起率
9. 斤稱起率
10. 端匹起率
11. 田畝起率：田起於忽（闊一寸長六寸），十忽=一絲，十絲=一毫，十毫=一厘，十厘=一分，十分=一畝，百畝=傾，三百步=一里。畝法：闊一步，長二百四十步。（一畝=240 平方步=6000 平方尺）
12. 古法圓率：周三徑一，π=3.
13. 劉徽新術：周一百五十七尺，直徑五十尺。（$\pi ={\frac {157}{50}}$）
14. 沖之密率: 周二十二尺，直徑七尺。（$\pi ={\frac {22}{7}}$）
15. 明異名訣
16. 明正負術
17. 明乘除段
18. 明開方法

上卷

上卷八門113問：

1. 縱橫因法門8問，
2. 身外加法門10問，
3. 留頭乘法門20問，
4. 身外減法門10問，
5. 九歸除法門29問，
6. 異乘同除門8問，
7. 庫務解稅門11問，
8. 折變互差門15問

中卷

中卷七門七十一問：

1. 田畝形段門16問，
2. 倉屯積粟門9問，
3. 雙據互換門6問，
4. 求差分和門9問，
5. 差分均配門10問，
6. 商功修築門13問，
7. 貴賤反率門8問

下卷

下卷五門七十五問：

之分齊同門=== 9問，

堆積還源門=== 14問，此章論述垛積術的茭草垛。

盈不足術門=== 9問，

方程正負門=== 9問，

開方釋鎖門=== 34問。用天元術立方程，以解各種問題。

算學啟蒙對中國數學的貢獻

上卷和中卷的內容大體上是傳統《九章算術》的內容。下卷則綜合了宋朝數學發展的成果如堆垛術、天元術。

堆垛術

下卷中的堆積還原門闡述級數的求和問題。

堆積還原門第一問：今有筊草底子每面五十四束，問積幾何？

答曰：一千四百八十五束。

術曰：置五十四束下位，添一束以乘上位得二千九百七十，半之，得積，合問。

54 × （54+1）/2 =2970/2=1485

天元術

朱世杰在《算學啟蒙》下卷中用相當篇幅敘述天元術。

朱世杰算學啟蒙中的天元術

例：《開放釋鎖》第八問：今有直田八畝五分五厘，只雲長平（寬）和得九十二步，問長平各幾何？

答曰：平三十八步，長五十四步。

術：設寬度為天元一

長=92-寬：

直田面積= 長 乘 寬 = $(92-X)X$;

但直田面積= 8.55畝=8.55 $\times$ 240 平方步= 2052 平方步

因此

$(92-X)\times X=2052$;

$(92-X)\times X-2052=0$;

即天元方程：

太

解之，得

寬=38步

長=54步

為了比較天元術和傳統的幾何方法，朱世杰特別詳細敘述傳統幾何方法（按此以古法演之）。按傳統幾何法，演算過程要比天元術複雜數倍。

版本

《算學啟蒙》的原始版本今已失傳。現存版本中最早的當推日本筑波大學所藏15世紀朝鮮世宗時期的銅活字本。清順治十七年通政議大夫守全南道觀察使兼兵馬水軍節度使巡查使全州府尹金始振重刊《算學啟蒙》。道光十九年，數學家羅士琳從京城琉璃廠書肆購得朝鮮金始振重刊本，在揚州刊行。同治十八年，光緒八年，十年，二十二年，二十二年，二十四年都有刊本。中國國家圖書館藏有清道光十九年羅士琳刊本，光緒二十四年上海算學書局刊本《算學啟蒙述義》三卷。

延伸閱讀

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