管狀鄰域

數學中,一個光滑流形子流形管狀鄰域是它周圍的一個開集,與法叢類似。

一個藍色的曲線,和垂直於它的一些綠色的直線。直線在條帶內的小部分為紅色。
上圖的近距離觀察是這樣。曲線是藍色,它的管狀鄰域T是紅色。用文章中的符號,曲線為S,包含曲線的空間為M,並且T=j(N).
法叢N的示意圖,零截線N0為藍色。變換jN0映射到上圖中的曲線S,將N映射到S的管狀鄰域。

管狀鄰域的想法可以用一個簡單的例子說明。考慮平面內一個沒有自交的光滑曲線。在曲線的每一個點處作一條與這個曲線垂直的直線。這些直線之間會以一種很複雜的形式相交,除非這條曲線是直的。然而,如果只觀察臨近曲線的一個狹窄的條帶,這些直線在條帶內的部分不會相交,並會沒有縫隙地覆蓋這個條帶。這個條帶就是一個管狀鄰域。

一般地,令S流形M的一個子流形,令N為在MS法叢。這裏S扮演曲線的角色,M扮演包含曲線的空間的角色。考慮自然映射

建立起N零截線N0M的一個子流形S之間的雙射關係。關於值在M中的全部法叢N的這個映射的一個外延j,使j(N)是M上的一個開集,並且jNj(N)的一個同胚,稱作管狀鄰域。

法向管

一個光滑曲線的法向管是由一些圓盤的並定義的流形,使得

  • 所有的圓盤有相同的固定半徑
  • 圓盤的中心都落在曲線上
  • 每個圓盤都落在曲線的法平面上

正式定義

 光滑流形。  中的管狀鄰域是一個向量叢 伴隨一個光滑映射 使得

  •  , 其中 是嵌入, 是零截面
  • 存在某個 和某個 以及  使得 是一個微分同胚

一般化

一般而言,光滑流形可以生成廣義管狀鄰域,比如正規鄰域,或者龐加萊空間的球面纖維化。

這些一般化常被用於構造(穩定)法叢的對應物,在沒有直接描述的空間中作為切叢的替代。