維廷格函數不等式

傅立葉分析的定理

數學上,實函數的維廷格不等式傅里葉分析中的一條不等式,得名於威廉·維廷格德語Wilhelm Wirtinger。1904 年,其用作證明等周不等式。若干相關變式也稱作維廷格不等式。

定理

第一形式

  為週期 2π 的周期函數,其在 R 上連續,並有連續導數,且滿足

 

 

其中等號成立當且僅當 f(x) = a sin(x) + b cos(x) 對某些 ab 成立(換言之,對某些 cd, 有 f(x) = c sin (x + d) )。

此形式的維廷格不等式即是一維情形下的龐加萊不等式,並且具有最優的常數(龐加萊常數)。

第二形式

以下相關的不等式也稱為維廷格不等式:(Dym & McKean 1985):

f 為 C1 函數(即連續並具有連續導數)使得 f(0) = f(a) = 0, 則

 

此形式的維廷格不等式即是一維的弗里德里希不等式英語Friedrichs' inequality

證明

兩者證明類似。以下給出第一條不等式的證明。由於 f 滿足狄利克雷條件,有傅立葉展開

 

由於 f 的積分為零,有 a0 = 0. 又由帕塞瓦爾恆等式,有

 

 

各項中   非負,而 n2 ≥1,故欲證的不等式成立。等號成立當且僅當對任意的 n ≥ 2, 皆有an = bn = 0.

參考文獻

  • Dym, H; McKean, H, Fourier series and integrals, Academic press, 1985, ISBN 978-0-12-226451-1 
  • Paul J. Nahin英語Paul J. Nahin (2006) Dr. Euler's Fabulous Formula, page 183, Princeton University Press ISBN 0-691-11822-1
  • Komkov, Vadim英語Vadim Komkov (1983) Euler's buckling formula and Wirtinger's inequality. Internat. J. Math. Ed. Sci. Tech. 14, no. 6, 661—668.

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