跡不等式

數學中,有很多關於希爾伯特空間上的矩陣線性算子不等式。而跡不等式就是與矩陣的跡有關的算子不等式。[1][2][3][4]

基本定義

Hn表示n×n埃爾米特矩陣空間, Hn+表示全體n×n半正定埃爾米特矩陣Hn++表示全體n×n正定埃爾米特矩陣。對於無限維希爾伯特空間上的算子,則需要跡類算子埃爾米特算子,簡單起見,此處我們只討論矩陣

對於任意實值函數 f 上的一個區間 I ⊂ℝ,通過在特徵值上定義函數和相應投影P乘積,可以在任意特徵值 λI的算子AHn上定義 矩陣函數 f(A) 如下:

  假設有譜分解  

算子的單調性

定義在區間 I ⊂ℝ上的函數 f: I → ℝ算子單調的 ,如果對於∀n,∀ A,BHn 且特徵值在 I中,有,

 

這裏 A ≥ B 表示 AB ≥ 0 ,即AB是半正定的。 注意, f(A)=A2 不是 算子單調的!

算子的凹凸性

函數  算子凸的 如果對任意   和任意 A,BHn 與特徵值在 I的一對矩陣,在  時有

 

由於    有的特徵值在 I中,注意矩陣   特徵值也在  中。

函數   是 算子凹的 如果   是算子凸的,即上面關於   不等式的符號反過來也成立。

聯合凸性

定義在區間   上的函數  聯合凸的 ,如果對任意   和任意  且特徵值在   中,和任意   且特徵值在  中,在   時有

 

一個功能 是 如果 是聯合凸,即不平等以上為 g 是相反的。

函數 g 是 算子聯合凹的 如果 −g 是聯合凸的,即上面關於 g 不等式符號反過來成立。

跡函數

給定函數 f:ℝ→ℝ,相應地可在 Hn 上定義 跡函數

 

其中 A 有特徵值 λ ,Tr表示算子的

跡函數的凸性和單調性

f:ℝ→ℝ連續, n 是任意整數。 若   是單調遞增的,則跡函數  Hn上也是單調遞增的。

類似,如果  的,則跡函數 Hn上也是凸的,它是嚴格凸的如果 f 嚴格凸。

證明和討論可參考[1] 中。

參考文獻

  1. ^ 1.0 1.1 E. Carlen, Trace Inequalities and Quantum Entropy: An Introductory Course, Contemp. Math. 529 (2010) 73–140 doi:10.1090/conm/529/10428
  2. ^ R. Bhatia, Matrix Analysis, Springer, (1997).
  3. ^ B. Simon, Trace Ideals and their Applications, Cambridge Univ. Press, (1979); Second edition. Amer. Math. Soc., Providence, RI, (2005).
  4. ^ M. Ohya, D. Petz, Quantum Entropy and Its Use, Springer, (1993).