重整化群

理論物理中,重整化群(renormalization group,簡稱RG)是一個在不同長度標度下考察物理系統變化的數學工具。

標度上的變化稱為「標度變換英語Scale transformation」。重整化群與「標度不變性英語Scale invariant」和「共形不變性英語Conformal invariant」的關係較為緊密。共形不變性包含了標度變換,它們都與自相似有關。在重整化理論中,系統在某一個標度上自相似於一個更小的標度,但描述它們組成的參量值不相同。系統的組成可以是原子基本粒子自旋等。系統的變量是以系統組成之間的相互作用來描述。

方程

基本想法就是耦合常數依賴長度縮放或能量標度,重整化群幫助陳述耦合數量和能量標度的關係。默里·蓋爾曼和Francis E. Low於1954年提出了下面量子電動力學的重整化群方程:[1]

g(μ) = G−1( (μ/M)d G(g(M)) ) ,

g(κ) = G−1( (κ/μ)d G(g(μ)) ) = G−1( (κ/M)d G(g(M)) )

費恩曼朱利安·施溫格朝永振一郎在1965年贏了物理學的諾貝爾獎,因為他們都把重整化以及正規化等想法應用於量子電動力學[2][3][4]

利奧·卡達諾夫在1966年推出塊自旋的概念來解釋重整化[5]

然後肯尼斯·威爾森使用重整化群解決近藤問題[6] 以及描述臨界現象和第二相變[7][8][9] 他1982年贏了諾貝爾獎[10]

塊自旋

這一節介紹重整化群的一個簡單圖像:塊自旋重整化群。這是由利奧·卡達諾夫在1966年推導出來的。[5]

首先考慮一個固體,如圖所示,原子以二維正方形形式排列。假設每一個原子只與它最鄰近的原子有相互作用,且這一系統的溫度為 ,相互作用的強度使用耦合常數 來描述。這一物理系統可以用一個特定的式子來表達,記為 

 

現在,我們把這個系統分為有着 個方塊的塊區,進而用塊變量來描述這個系統,這些變量可以是塊內變量的平均數。我們假設這些塊變量可以用相同的方程來描述,只不過參數  不同(事實上這一假設當然並不成立,但在實際應用中這一近似已足夠好)。

原本這個系統內有較多的原子,現在,在問題重整化後,只有四分之一個原子需要求解。按照上面的方法再迭代一次後得到 ,這次只需要計算最初的十六分之一個原子。當然,最好是能夠迭代直到只剩下一個最大的塊區。一般來說,當迭代很多次後,重整化群變換將趨向於一個不動點上的數。

現在考慮一個具體的例子:鐵磁-順磁相變中的伊辛模型。在這個模型里,耦合常數 代表鄰近電子自旋平行時候的相互作用力。這一模型中有三個不動點:

  1.   。從宏觀上來看,溫度對系統的影響變得可以忽略不計。這時系統處於鐵磁相。
  2.   。與第1種情形正好相反,溫度對系統的影響佔據了主導,系統在宏觀上變得無序。
  3.   。在這一特定的狀態上,改變系統的標度不改變系統的物理性質,因為系統處於分形態上。這對應居里相變,這個點稱為臨界點

基本理論

假設有一個可以用狀態變量 和一組耦合常數 表示的函數 。這個函數必須能夠用來描述整個物理系統,比如某個配分函數作用量哈密頓量等等。

現在我們考慮狀態變量上的塊變換  所包含的數目必須小於 。接下來我們可以把函數 只用 來表示。如果 也是可以實現的,那麼就說這個物理系統是可重整化的。

最基本的物理理論都是可以重整化的,比如量子電動力學量子色動力學,電弱相互作用等,但是引力是無法重整化的。此外,凝聚態物理中的大部分理論也是可以被重整化的,比如超導超流

變量的變換可以由一個β函數實現: 。這一函數可以在 空間上導出流圖。系統的宏觀狀態由流圖上的不動點給出。

由於重整化群變換是有損的,這一變換不可逆,所以這一變換實際上是數學上的半群。

舉例計算

參見Phi fourth theory英語Quartic interaction(四次交互論;  論)。歐幾里得空間的拉氏量

 

配分函數泛函積分是:

 

通過重正化以及正規化   

 

 

 
 

所以

 

介紹  

 

所以新的拉氏量是 以及

 

  不同於 ,因為  改變了。 上面的 Z 陳述一個effective field theory英語effective field theory。若  .

 

假設

 
 
 
 
 

所以

 

耦合常數的變量為  耦合常數的演進是動力系統臨界點

 

三種耦合

  • 無關耦合(irrelevant):耦合減少了
  • 相關耦合(relevant):耦合增加了
  • 邊緣耦合(marginal):耦合不變

 ,因為 所以B和C是無關的,m是相關的,並且 是邊緣的。

而且 論是可重整化的。

動力系統的重整化

米切爾·費根鮑姆使用重整化群計算費根鮑姆常數,而且將重整化應用於分岔理論[11]

阿圖爾·阿維拉巴西數學家)也將重整化群應用於動力系統費根鮑姆常數[12][13]

其他應用包括:

參見

擴展閱讀

入門教程與歷史回顧

相關著作

  • T. D. Lee 李政道; Particle physics and introduction to field theory, Harwood academic publishers, 1981, [ISBN 3-7186-0033-1]. 是總結
  • L. Ts. Adzhemyan, N.V.Antonov and A. N. Vasiliev; The Field Theoretic Renormalization Group in Fully Developed Turbulence; Gordon and Breach, 1999. [ISBN 90-5699-145-0].
  • Vasil'ev, A. N.; The field theoretic renormalization group in critical behavior theory and stochastic dynamics; Chapman & Hall/CRC, 2004. [ISBN 9780415310024] (Self-contained treatment of renormalization group applications with complete computations);
  • Zinn-Justin, Jean; Quantum field theory and critical phenomena, Oxford, Clarendon Press (2002), ISBN 0-19-850923-5 (a very thorough presentation of both topics);
  • The same author: Renormalization and renormalization group: From the discovery of UV divergences to the concept of effective field theories, in: de Witt-Morette C., Zuber J.-B. (eds), Proceedings of the NATO ASI on Quantum Field Theory: Perspective and Prospective, June 15–26, 1998, Les Houches, France, Kluwer Academic Publishers, NATO ASI Series C 530, 375-388 (1999) [ISBN ]. Full text available in PostScript頁面存檔備份,存於互聯網檔案館).
  • Kleinert, H. and Schulte Frohlinde, V; Critical Properties of φ4-Theories, World Scientific (Singapore, 2001); Paperback ISBN 981-02-4658-7. Full text available in PDF頁面存檔備份,存於互聯網檔案館).

參考文獻

  1. ^ M. Gellman and F. E. Low. Quantum Electrodynamics at Small Distances (PDF). (原始內容存檔 (PDF)於2018-07-24). 
  2. ^ Mehra, Jagdish; Milton, Kimball A. Schwinger, Tomonaga, Feynman, and Dyson: the triumph of renormalization. Oxford University Press https://www.oxfordscholarship.com/view/10.1093/acprof:oso/9780198527459.001.0001/acprof-9780198527459-chapter-8. 2003-08-14 [2020-03-04]. ISBN 978-0-19-170959-3. doi:10.1093/acprof:oso/9780198527459.001.0001/acprof-9780198527459-chapter-8. (原始內容存檔於2020-07-28) (美國英語).  缺少或|title=為空 (幫助)
  3. ^ Sin-Itiro Tomonaga Nobel Lecture. NobelPrize.org. 1966 [2020-03-04]. (原始內容存檔於2021-04-21) (美國英語). 
  4. ^ Schwinger. Renormalization theory of quantum electrodynamics (PDF). (原始內容存檔 (PDF)於2020-03-04). 
  5. ^ 5.0 5.1 Kadanoff, Leo P. Scaling laws for ising models near T c. Physics Physique Fizika. 1966-06-01, 2 (6): 263–272. ISSN 0554-128X. doi:10.1103/PhysicsPhysiqueFizika.2.263 (英語). 
  6. ^ Wilson, Kenneth G. The renormalization group: Critical phenomena and the Kondo problem. Reviews of Modern Physics. 1975-10-01, 47 (4): 773–840. ISSN 0034-6861. doi:10.1103/RevModPhys.47.773 (英語). 
  7. ^ Wilson, Kenneth G. Renormalization Group and Critical Phenomena. I. Renormalization Group and the Kadanoff Scaling Picture. Physical Review B. 1971-11-01, 4 (9): 3174–3183. ISSN 0556-2805. doi:10.1103/PhysRevB.4.3174 (英語). 
  8. ^ Wilson, Kenneth G. Renormalization Group and Critical Phenomena. II. Phase-Space Cell Analysis of Critical Behavior. Physical Review B. 1971-11-01, 4 (9): 3184–3205. ISSN 0556-2805. doi:10.1103/PhysRevB.4.3184 (英語). 
  9. ^ Wilson, Kenneth G.; Fisher, Michael E. Critical Exponents in 3.99 Dimensions. Physical Review Letters. 1972-01-24, 28 (4): 240–243. ISSN 0031-9007. doi:10.1103/PhysRevLett.28.240 (英語). 
  10. ^ THE RENORMALIZATION GROUP AND CRITICAL PHENOMENA (PDF). K. G. Wilson. (原始內容存檔 (PDF)於2021-05-07). 
  11. ^ Feigenbaum, M. J. (1976) "Universality in complex discrete dynamics", Los Alamos Theoretical Division Annual Report 1975-1976 (PDF). (原始內容 (PDF)存檔於2010-12-14). 
  12. ^ Étienne Ghys. The work of Artur Avila (PDF). (原始內容存檔 (PDF)於2020-03-04). 
  13. ^ A. Avila. Papers. (原始內容存檔於2021-01-26). 
  14. ^ Hairer. Solving the KPZ equation. (原始內容存檔於2021-03-08). 
  15. ^ Hairer, Martin. Renormalisation of parabolic stochastic PDEs. arXiv:1803.03044 [math-ph]. 2018-03-08 [2020-03-04]. (原始內容存檔於2021-05-06). 
  16. ^ Chandra, Ajay; Hairer, Martin. An analytic BPHZ theorem for regularity structures. arXiv:1612.08138 [math-ph]. 2018-01-22 [2020-03-04]. (原始內容存檔於2021-05-06).