高斯模糊

高斯模糊（英語：Gaussian Blur），也叫高斯平滑，是在Adobe Photoshop、GIMP以及Paint.NET等圖像處理軟件中廣泛使用的處理效果，通常用它來減少圖像噪聲以及降低細節層次。這種模糊技術生成的圖像，其視覺效果就像是經過一個半透明螢幕在觀察圖像，這與鏡頭焦外成像效果散景以及普通照明陰影中的效果都明顯不同。高斯平滑也用於電腦視覺演算法中的預先處理階段，以增強圖像在不同比例大小下的圖像效果（參見尺度空間表示以及尺度空間實現）。從數學的角度來看，圖像的高斯模糊過程就是圖像與正態分佈做卷積。由於正態分佈又叫作「高斯分佈」，所以這項技術就叫作高斯模糊。圖像與圓形方框模糊做卷積將會生成更加精確的焦外成像效果。由於高斯函數的傅立葉變換是另外一個高斯函數，所以高斯模糊對於圖像來說就是一個低通濾波器。

機理

高斯模糊是一種圖像模糊濾波器，它用正態分佈計算圖像中每個像素的變換。N維空間正態分佈方程為

G(r)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}^{N}}}e^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})}

在二維空間定義為

G(u,v)={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}e^{-(u^{2}+v^{2})/(2\sigma ^{2})}

其中r是模糊半徑（ $r^{2}=u^{2}+v^{2}$ ），σ是正態分佈的標準偏差。在二維空間中，這個公式生成的曲面的等高線是從中心開始呈正態分佈的同心圓。分佈不為零的像素組成的卷積矩陣與原始圖像做變換。每個像素的值都是周圍相鄰像素值的加權平均。原始像素的值有最大的高斯分佈值，所以有最大的權重，相鄰像素隨着距離原始像素越來越遠，其權重也越來越小。這樣進行模糊處理比其它的均衡模糊濾波器更高地保留了邊緣效果，參見尺度空間實現。

理論上來講，圖像中每點的分佈都不為零，這也就是說每個像素的計算都需要包含整幅圖像。在實際應用中，在計算高斯函數的離散近似時，在大概3σ距離之外的像素都可以看作不起作用，這些像素的計算也就可以忽略。通常，圖像處理程式只需要計算 $(6\sigma +1)\times (6\sigma +1)$ 的矩陣就可以保證相關像素影響。對於邊界上的點，通常採用複製周圍的點到另一面再進行加權平均運算。

除了圓形對稱之外，高斯模糊也可以在二維圖像上對兩個獨立的一維空間分別進行計算，這叫作線性可分。這也就是說，使用二維矩陣變換得到的效果也可以通過在水平方向進行一維高斯矩陣變換加上豎直方向的一維高斯矩陣變換得到。從計算的角度來看，這是一項有用的特性，因為這樣只需要 $O(n\times M\times N)+O(m\times M\times N)$ 次計算，而不可分的矩陣則需要 $O(m\times n\times M\times N)$ 次計算，其中 $M$ , $N$ 是需要進行濾波的圖像的維數， $m$ 、 $n$ 是濾波器的維數。

對一幅圖像進行多次連續高斯模糊的效果與一次更大的高斯模糊可以產生同樣的效果，大的高斯模糊的半徑是所用多個高斯模糊半徑平方和的平方根。例如，使用半徑分別為6和8的兩次高斯模糊變換得到的效果等同於一次半徑為10的高斯模糊效果， ${\sqrt {6\times 6+8\times 8}}=10$ 。根據這個關係，使用多個連續較小的高斯模糊處理不會比單個高斯較大處理時間要少。

在減小圖像尺寸的場合經常使用高斯模糊。在進行欠採樣的時候，通常在採樣之前對圖像進行低通濾波處理。這樣就可以保證在採樣圖像中不會出現虛假的高頻資訊。高斯模糊有很好的特性，如沒有明顯的邊界，這樣就不會在濾波圖像中形成震盪。

高斯矩陣範例

這是一個計算σ = 0.84089642的高斯分佈生成的範例矩陣。注意中心元素 (4,4)處有最大值，隨着距離中心越遠數值對稱地減小。

0.00000067	0.00002292	0.00019117	0.00038771	0.00019117	0.00002292	0.00000067
0.00002292	0.00078633	0.00655965	0.01330373	0.00655965	0.00078633	0.00002292
0.00019117	0.00655965	0.05472157	0.11098164	0.05472157	0.00655965	0.00019117
0.00038771	0.01330373	0.11098164	0.22508352	0.11098164	0.01330373	0.00038771
0.00019117	0.00655965	0.05472157	0.11098164	0.05472157	0.00655965	0.00019117
0.00002292	0.00078633	0.00655965	0.01330373	0.00655965	0.00078633	0.00002292
0.00000067	0.00002292	0.00019117	0.00038771	0.00019117	0.00002292	0.00000067

注意中心處的0.22508352比3σ外的0.00019117大1177倍。

例子

下面的例子展示了高斯模糊的效果；圖2是圖1經過高斯模糊濾波器（σ = 2）處理之後的結果。

參見

參考文獻

https://web.archive.org/web/20061109221710/http://www.cee.hw.ac.uk/hipr/html/gsmooth.html