三乘積法則

三乘積法則（triple product rule）是關於偏導數的一個恆等關係式，其表達式為：

$\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)_{z}\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)_{x}\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}=-1.$

註釋：每一個變量可視作另外兩個變量的函數。偏導數的下標表示在此變量為常數的條件下求導。

三乘積法則用於熱力學關係式的推導。例如溫度、壓力和體積之間的關係滿足：

$\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{T}\left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{p}=-1.$

利用三乘積法則，可以將不易測量的關係用容易測得的物理量代替，如：

$\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)_{z}=-{\frac {\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}}{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}}}$。

推導

下面給出一個非正式的推導。設有函數f(x, y, z) = 0。若將z表示為x和y的函數，則全微分dz等於

$dz=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}dx+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}dy$

在dz = 0的軌跡上，x和y之間滿足

$dy=\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)_{z}dx$

於是將dz = 0帶入上式，

$0=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\,dx+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)_{z}\,dx$

重排得

$\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}=-\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)_{z}$

將所有偏導數移到等式左邊，

$\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)_{z}\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)_{x}\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}=-1$

此證明假定了偏導數存在，以及全微分dz存在，偏導數不為零從而能取倒數。數學分析的正式證明能避免這些隱含假定。

參見

• 全微分
• 變量和純量的三重積

參考資料

• Elliott, JR, and Lira, CT. Introductory Chemical Engineering Thermodynamics, 1st Ed., Prentice Hall PTR, 1999. p. 184.
• Carter, Ashley H. Classical and Statistical Thermodynamics, Prentice Hall, 2001, p. 392.