3D投影是將3D空間中的點映射到2D平面上的方法。由於目前絕大多數圖形數據的顯示方式仍是2D的,因此3D投影的應用相當廣泛,尤其是在計算機圖形學,工程學和工程製圖中。

分類

  • 3D圖形平面投影
    • 平行投影:投影中心與投影平面的距離是無限的,投影線相互平行
      • 正投影(正交投影):投影線垂直於投影平面
        • 多視圖投影:物體的坐標面與投影面平行,正視圖、側視圖、俯視圖
        • 軸測投影:物體的三個坐標面或坐標軸與投影面均不平行
          • 正等軸測投影(正等測):投影時三個坐標軸等比例縮放,投影面坐標軸夾角120°
          • 正二軸測投影(正二測):投影時兩個坐標軸等比例縮放,第三個坐標軸縮放比例不同
          • 正三軸測投影(正三測):投影時三個坐標軸縮放比例均不相等
      • 斜投影:投影線不垂直於投影平面
        • 斜等軸測投影(斜等測)
        • 斜二軸測投影(斜二測)
        • 斜三軸測投影(斜三測)
    • 透視投影:投影中心與投影平面的距離是有限的
      • 一點透視
      • 兩點透視
      • 三點透視


平行投影

平行投影是投影線相互平行的投影。若投影線垂直於投影面則稱正投影,若投影面傾斜於投影面則稱斜投影。

正交投影

正交投影是一系列用於顯示3D物體的輪廓、細節或精確測量結果的變換方法。通常又稱作截面圖、鳥瞰圖或立面圖。

當視平面的法向(即攝像機的朝向)平行於笛卡爾坐標系三根坐標軸中的一根,數學變換定義如下: 若使用一個平行於y軸(側視圖)的正交投影將3D點 ,  ,  投影到2D平面上得到2D點 ,  ,可以使用如下公式

 
 

其中向量s是一個任意的縮放因子,而c是一個任意的偏移量。這些常量可自由選擇,通常用於將視口調整到一個合適的位置。該投影變換同樣可以使用矩陣表示(為清晰起見引入臨時向量d

 
 


雖然正交投影產生的圖像在一定程度上反映了物體的3D特性,但此類投影圖像和實際觀測到的並不相同。特別是對於相同長度的平行線段,無論離虛擬觀察者(攝像機)遠近與否,它們都會在正交投影中顯示為相同長度。這會導致較近的線段看起來被縮短了。

斜投影

斜投影不像正交投影一樣投影線垂直於投影面,而是投影線與投影面成非90度的斜角。

透視投影

透視投影的定義更為複雜。可以將其理解為透過攝像機取景器對於被投影物體進行觀察。攝像機的位置、朝向和視野都將影響投影變換的結果。我們定義以下變量來對這一變換進行描述:

  •  :將被投影的3D空間中的點。
  •  :攝像機的位置。
  •  :攝像機的旋轉角度。當  =<0,0,0>且  =<0,0,0>, 3D向量<1,2,0>將被投影到2D向量<1,2>。
  •  :觀測者相對顯示平面的位置。[1]

最終結果為:

  •   所產生的2D投影。

首先我們定義點 作為點 向攝像機坐標系所作的變換,其中攝像機坐標系由攝像機的位置 和旋轉 所決定。該過程為:先用 減去 ,然後使用由 產生的旋轉矩陣乘上該結果。該變換通常稱為攝像機變換(注意該計算過程假設使用左手法則): [2] [3]

 [4]

或者使用以下這種非矩陣表示的形式,其中角度的正負號與矩陣表示形式不同:

 

然後將變換後的該點通過以下方程投影到2D平面(此處投影平面為x/y平面,有時也使用x/z):[5]

 

或在齊次坐標系下可以表示為:

 

 

觀測者到顯示平面的距離, ,直接關係到視野的大小。 為可視角度。(這裏假設屏幕的兩角為(-1,-1)和(1,1))

如果要在一些特定的顯示設備上顯示該2D平面,之後還要進行一些必要的剪裁和縮放操作。

圖示

 

計算3D空間中位於Ax,Az的點在屏幕坐標x軸的位置:

 

對於y軸同樣有:

 

(其中Ax和Ay是透視轉換前物體在空間中的坐標)

參看

參考文獻

  1. ^ Ingrid Carlbom, Joseph Paciorek, Planar Geometric Projections and Viewing Transformations, ACM Computing Surveys, 1978, 10 (4): 465–502, doi:10.1145/356744.356750 .
  2. ^ Riley, K F. Mathematical Methods for Physics and Engineering. Cambridge University Press. 2006: 931,942. ISBN 0521679710. doi:10.2277/0521679710. 
  3. ^ Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 2nd Edn.. Reading, Mass.: Addison-Wesley Pub. Co. 1980: 146–148. ISBN 0201029189. 
  4. ^ Rotation About an Arbitrary Axis in 3 Dimensions頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) Glenn Murray 2013-6-6 [2014-4-23]
  5. ^ Sonka, M; Hlavac, V; Boyle, R, Image Processing, Analysis & Machine Vision 2nd Edn., Chapman and Hall: 14, 1995, ISBN 0412455706 

延伸閱讀