伽羅瓦擴張

代數字段擴展,其中自同構組精確地固定基本字段

伽羅瓦擴張抽象代數伽羅瓦理論的核心概念之一。伽羅瓦擴張是擴張的一類。如果某個體擴張L/K既是可分擴張也是正規擴張,則稱其為伽羅瓦擴張。另一個等價的定義是:伽羅瓦擴張是使得其上的自同構的固定體為其基體的體擴張。伽羅瓦擴張上的自同構群稱為伽羅瓦群,而且伽羅瓦擴張的中間體與其伽羅瓦群的子群之間的關係滿足伽羅瓦理論基本定理

等價定義

給定有限的體擴張L/KL/K是伽羅瓦擴張,當且僅當它滿足以下四個相互等價的條件中的任何一個[1]:147

  • L/K可分正規擴張
  • L是某個以K中元素為系數的多項式K分裂體,而且該多項式在此分裂體中沒有重根。
  • [L : K] = |Aut(L/K)|。體擴張L/K的次數,等於其上的自同構群Aut(L/K)的階數(群元素的個數)。
  • Aut(L/K)的不變體,即 ,是K

例子

給定體擴張 ,其中的θ = 32是2的三次方根,ω = e23是三次單位根 是多項式P = X3 - 2在有理數體上的分裂體,而且它在其中沒有重根,所以 是伽羅瓦擴張[1]:52-53。它的擴張次數是6,而它的自同構群元素有六個,同構於3次對稱群。有關其具體結構,可參見伽羅瓦理論基本定理

性質

如果體擴張基體的特徵為0,那麼所有代數擴張都是可分擴張,這時所有的正規擴張都是伽羅瓦擴張。

如果體擴張L/K是伽羅瓦擴張,則中間擴張KFL中,L/F也是伽羅瓦擴張[1]:149

K代數閉包KalgK的伽羅瓦擴張,當且僅當K完美體

參見

參考來源

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 David A. Cox. Galois Theory. John Wiley & Sons, 1st Edition. 2004 [2014-06-14]. ISBN 9780471434191. (原始內容存檔於2014-07-14) (英語). 

參考文獻