分裂體
在抽象代數中,一個系數體為的多項式的分裂體(根體)是的「最小」的一個擴張體,使得在其中可以被分解為一次因式的乘積,其中的是中元素。一個上的多項式並不一定只有一個分裂體,但它所有的分裂體都是同構的:在同構意義上,上的多項式的分裂體是唯一的。
術語與定義
稱一個系數體為 的多項式 在 的某個擴張體 中分裂,當且僅當這個多項式可以用這個體中的元素來分解(分裂)成最簡單的一次因式的乘積:
其中的 , 。換句話來說, 的根都在 中。
使得 在其中分裂的擴張體 有很多,譬如對於某個使得 分裂的的 ,它任意的擴張體 也都滿足。然而其中「最小」的體在同構意義上是唯一的。所謂的「最小」體,是指這樣的一個擴張體 :
- 在 里, ,可以分解為一次因式的乘積;
- 在 的任何真子體(不等於自身)里, 都無法如此分解。這樣的擴張體稱為 在 上的分裂體。
例子
如果 是有理數體 ,多項式為
那麼其分裂體 可以是在 中添加三次單位根 和2的立方根而得到的擴張體: 。因為這時 可以寫作:
同一個多項式在不同的體上的分裂體不一定相同,比如:
多項式 在准有限體 GF7上的分裂體是GF7,因為在其上 已經分解完畢。
性質
給定多項式 ,在 上的分裂體 ,假設在 里 ,分解為
那麼 。
對於體 的一個代數閉體擴張體 和 上的一個多項式 ,存在 在 上的唯一的一個分裂體 ,使得 。
對於 的一個可分擴張 , 的伽羅瓦閉包是一個分裂體,也是 的包含 的一個「最小」的伽羅瓦擴張。這樣的一個伽羅瓦閉包包含了 中任意元素 ,在 上的極小多項式在 上的分裂體。
參見
參考來源
- Dummit, David S., and Foote, Richard M. (1999). Abstract Algebra (2nd ed.). New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-36857-1. [1][失效連結]
- David A. Cox. Galois Theory (1st ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-43419-1 [2]