半環

在抽象代數中，半環是類似於環但沒有加法逆元的代數結構。偶爾使用術語 rig - 這起源於一個笑話，rig 是沒有 negative 元素的 ring。

定義

半環是裝備了兩個二元關係 + 和 · 的集合 R，有着:

1. (R, +) 是帶有單位元 0 的交換么半群:
   1. (a + b) + c = a + (b + c)
   2. 0 + a = a + 0 = a
   3. a + b = b + a
2. (R, ·) 是帶有單位元 1 的么半群:
   1. (a·b)·c = a·(b·c)
   2. 1·a = a·1 = a
3. 乘法分配於加法之上:
   1. a·(b + c) = (a·b) + (a·c)
   2. (a + b)·c = (a·c) + (b·c)
4. 0 抵消 R:
   1. 0·a = a·0 = 0

最後的公理可以從環的定義而省略: 它可以自動的從其他環公理得出。這裏不行，必須在定義中聲明。

在環和半環之間的區別是加法只產生交換么半群，而不必然是阿貝爾群。

符號 · 經常從表示法中省略；就是說 a·b 寫為 ab。類似的，接受一種運算次序，· 先於 + 應用；就是說 a + bc 就是 a + (bc)。

交換半環是乘法為交換性的半環。等冪半環(也叫做 dioid)是加法是等冪的半環: a + a = a，就是說 (R, +) 是帶。

有些作者偏好省略半環有 0 或 1 的要求。這使得在環與半環同群與半群之間的類比更像。這些作者經常稱這裏定義的概念為 rig。

參考

• François Baccelli, Guy Cohen, Geert Jan Olsder, Jean-Pierre Quadrat, Synchronization and Linearity, Wiley, 1992, ISBN 0-471-93609-X