單位雙曲線

在幾何學中，單位雙曲線是指笛卡爾平面上滿足隱函數 $x^{2}-y^{2}=1$ 的點的集合或滿足 $y^{2}-x^{2}=1$ 的點的集合（互為共軛）. 單位雙曲線屬於等軸雙曲線，有漸近線 $y=x$ 和 $y=-x$，離心率等於 ${\sqrt {2}}.$

藍色的是單位雙曲線，綠色的是其共軛，紅色的是它們的漸近線.

漸近線

主條目：漸近線

通常，曲線的漸近線是指曲線收斂到的直線。在代數幾何和代數曲線理論中，引入了射影平面，此時漸近線是指在無窮遠處與曲線相切的線.

等軸雙曲線$f=x^{2}-y^{2}-1$在ℝ²中相應的投影曲線是$F=x^{2}-y^{2}-z^{2}$，與z = 0交於點P = (1 : 1 : 0)和Q = (1 : −1 : 0). P和Q都在F上simple，有切線x + y = 0, x − y = 0，即我們熟悉的初等幾何中的漸近線.

參數化

單位雙曲線的兩支上的點分別為 $(\cosh a,\sinh a)$ 和$(-\cosh a,-\sinh a)$ ，取決於雙曲角度參數 $a$.

參數化單位雙曲線的直接方法之一是利用雙曲線xy = 1可以用指數函數：$(e^{t},\ e^{-t})$參數化的特點.

這一雙曲線可以通過具有矩陣 $A={\tfrac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}$ 的線性映射映射到單位雙曲線.

$(e^{t},\ e^{-t})\ A=({\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}},\ {\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}})=(\cosh t,\ \sinh t).$

參數t是雙曲角度參數，即雙曲函數的參量.