鏡射 (數學)

在數學中，鏡射是把一個物體變換成它的鏡像的映射。要鏡射一個平面圖形，需要「鏡子」是一條直線（鏡射軸），對於三維空間中的鏡射就要使用平面作為鏡子。鏡射有時被認為是圓反演的特殊情情況，參考圓有無限半徑。

在幾何上說，要找到一個點的鏡射，可從這個點向鏡射軸畫一條垂線。並在另一邊延續相同的距離。要找到一個圖形的鏡射，需要鏡射這個圖形的每個點。

兩次鏡射回到原來的地方。鏡射保持在點之間的距離。鏡射不移動在鏡子上的點，鏡子的維數比發生鏡射的空間的維數要小1。這些觀察允許我們形式化鏡射的定義：鏡射是歐幾里得空間的對合等距同構，它的不動點集合是余維數為1的仿射子空間。

在經歷特定鏡射後不改變的圖形被稱為有鏡射對稱性。

密切關聯於鏡射的是斜鏡射和圓反演。這些變換仍對合於有餘維數1的不動點的集合，但它們不再是等距的。

豪斯霍爾德變換

給定在歐幾里得空間Rⁿ中的一個向量a，在通過原點的正交於a的超平面中的鏡射的公式是

\mathrm {Ref} _{a}(v)=v-2{\frac {v\cdot a}{a\cdot a}}a

這裏的v·a指示v和a的點積。注意在上面等式中的第二項就是v在a上的投影的兩倍。可以輕易的檢查

因為這些鏡射是歐幾里得空間的固定原點的等距同構，它們可以表示為正交矩陣。對應於上面鏡射的正交矩陣是有如下元素的矩陣

R_{ij}=\delta _{ij}-2{\frac {a_{i}a_{j}}{\|a\|^{2}}}

這裏的δ_ij是克羅內克δ。

在仿射超平面 $v\cdot a=c$ 中的鏡射的公式是

\mathrm {Ref} _{a,c}(v)=v-2{\frac {v\cdot a-c}{a\cdot a}}a.

任何一個Rⁿ中正交變換都能寫成一些鏡射的複合，且映射的個數可以不多於n個，這是嘉當-迪厄多內定理的結論。對於不定空間R^p,q也是成立的。