在圓柱和球坐標系中的del

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下面是常用於正交曲線坐標系英語Curvilinear coordinates中的一些向量微積分公式。

註釋

  • 本文對球坐標使用標準符號ISO 80000-2,它取代了ISO 31-11,(部分其他來源可能有着顛倒θ和φ的定義):
    • 極角表示為θ:它是在z軸與連接原點和目標點的徑向向量之間的角度。
    • 方位角表示為φ:它是在x軸與徑向向量在xy面上的投影之間的角度。
  • 函數atan2(y, x)可以用於替代數學函數arctan(y/x)。這是由於它的定義域的緣故,經典arctan函數的像為(−π/2, +π/2),而atan2定義的像為(−π, π]

坐標轉換

在直角、圓柱和球坐標間的變換[1]
直角 圓柱
直角      
圓柱      
     

單位向量轉換

在直角、圓柱和球坐標系間的單位向量轉換,從目的坐標的角度。[1]
直角 圓柱
直角 不適用    
圓柱   不適用  
    不適用
在直角、圓柱和球坐標系間的單位向量轉換,從源坐標的角度。
直角 圓柱
直角 不適用    
圓柱   不適用  
    不適用

Del公式

在直角、圓柱和球坐標下的del算子的表格
運算 直角坐標 (x, y, z) 圓柱坐標 (ρ, φ, z) 球坐標 (r, θ, φ),這裏的θ是極角而φ是方位角α
向量場 A      
梯度 f[1]      
散度 ∇ ⋅ A[1]      
旋度 ∇ × A[1]      
拉普拉斯算子 2f ≡ ∆f[1]      
向量拉普拉斯算子 2A ≡ ∆A  
物質導數α[2] (A ⋅ ∇)B    
張量散度 ∇ ⋅ T
微分位移 d[1]      
微分正規面積 dS      
微分體積 dV[1]      
本頁對極角採用 對方位角採用 ,這是在物理學中常用的符號。某些來源在這些公式中對方位角採用 對極角採用 ,這是常用數學符號,如果需要這種數學公式,可對換上表公式中的  

非平凡的演算規則

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  (del的拉格朗日公式
  5.  

直角坐標系推導

 

 


 

  的表達式可以同理得出。

註:第一式中的   時的量值,並非 值乘上 。以下圓柱座標、球座標的推導中亦然。

圓柱坐標系推導

 

 
 
 
 
 

球坐標系推導

 

 

 

 

 

 

單位向量轉換公式

坐標參數u的單位向量以如下方式定義,u的小的正值改變導致位置向量  方向上的改變。因此:

 

這裏的s弧長參數。

對於兩組坐標系  ,依據鏈式法則

 

現在,使除了一個之外的所有 並在兩邊除以對應的坐標參數的微分,得到:

 

參見

引用

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics. Pearson. 2012. ISBN 978-0-321-85656-2. 
  2. ^ Weisstein, Eric W. (編). Convective Operator. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [23 March 2011]. (原始內容存檔於2016-03-03) (英語). 

外部連結