對角矩陣

一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵

對角矩陣(英語:diagonal matrix)是一類除主對角線之外的元素皆為0的矩陣。對角線上的元素可以為0或其他值。因此若n階方塊矩陣 = (di,j)符合以下性質:

線性代數
向量 · 向量空間 · 基底  · 行列式  · 矩陣

則矩陣為對角矩陣。

例子

 

均為對角矩陣

矩陣運算

加法

 

乘法

 

逆矩陣

  當且僅當   均不為零。

性質

  • 單位矩陣  零矩陣恆為對角矩陣。
  • 對角矩陣是對稱矩陣上三角矩陣下三角矩陣
  • (定義)若對角矩陣主對角線上的元素都相等,則又稱其為數量矩陣。(性質)數量矩陣可表示為單位矩陣及一個系數   的乘積  單位矩陣零矩陣可以被視作為特殊的數量矩陣。
  • 對角矩陣  特徵值 ,其特徵向量單位向量  
  • 對角矩陣  行列式為其特徵值的乘積,即  

方陣與對角矩陣相似的充分必要條件

 階方陣可進行對角化的充分必要條件是:

  •  階方陣存在 個線性無關的特徵向量
    • 推論:如果這個 階方陣有 階個不同的特徵值,那麼矩陣必然存在相似矩陣
  • 如果 階方陣存在重複的特徵值,每個特徵值的線性無關的特徵向量的個數恰好等於該特徵值的重複次數

參考