幸福結局問題

幸福結局問題（由保羅·艾狄胥命名，因為這個問題令喬治·塞凱賴什和愛絲特·克萊共諧連理）是問，在平面上，給定一般位置（即平面上任意三點不共線）上的多少點，才令其中必可以找到 $n$ 點能組成凸 $n$ 邊形？

1935年，艾狄胥和塞凱賴什證明：給定任意正整數 $N$ ，存在正整數 $M$ 使得給定在平面上一般位置上的 $M$ 點，其中必可以找到 $N$ 點能組成凸 $N$ 邊形。

將 $f(N)$ 表示為 $M$ 的最小可能值，已知

1961年，艾狄胥和塞凱賴什證明 $f(N)\geq 1+2^{N-2}$ ^[2]。

1998年，一連三篇關於對 $f(N)$ 的上界的文章被發表，其中最好的結果是由Tóth和Valtr找到的：

f(N)\leq {2n-5 \choose n-3}+2

2005年，他們進一步將此上界降低了1：

f(N)\leq {2n-5 \choose n-3}+1

2016年，Andrew Suk證明了：

f(N)\leq 2^{N+o(N)}

^[3]

參考

Erdős, P., Szekeres, G., A combinatorial problem in geometry, Compositio Math. 2 (1935), 463--470.
Erdős P., Szekeres G., On some extremum problems in elementary geometry, Ann. Univ. Sci. Budapest. Eötvös Sect. Math. 3-4 (1961), 53–62. Reprinted in: Paul Erdős: The Art of Counting. Selected Writings (J. Spencer, ed.), pp. 680–689, MIT Press, Cambridge, MA, 1973.
Kalbfleisch J.D., Kalbfleisch J.G., Stanton R.G., A combinatorial problem on convex regions, Proc. Louisiana Conf. Combinatorics, Graph Theory and Computing, Louisiana State Univ., Baton Rouge, La, 1970. Congr. Numer. 1 (1970), 180-188.
Morris, W., and V. Soltan. 2000. The Erdös-Szekeres problem on points in convex position--A survey. Bulletin of the American Mathematical Society 37(October): 437.
Tóth G., Valtr P., Note on the Erdős-Szekeres theorem, Discrete Comput. Geom. 19 (1998), 457–459.

^ 證明：若這五點的凸包是四邊形或五邊形，則結果易見。若否，則凸包是三角形，其中兩點在三角形內。連接這兩點的直線，與三角形其中兩邊相交，則這兩點與三角形第三邊的兩點組成凸四邊形。
^ Erdős & Szekeres (1961)
^ Suk, Andrew, On the Erdős–Szekeres convex polygon problem, 2016, arXiv:1604.08657