微分包含式

數學分析中的微分包含式(Differential inclusion)是指具有如下形式的常微分方程式

其中F(t, x)表示了一個集合,而非空間中一個點。對微分包含式的研究源於微分不等式投影動態系統、動態摩擦力問題和模糊集算法問題等不同的領域。

舉例來講,由庫侖摩擦力的基本定理得知物體受到的摩擦力的大小為μN,方向與滑動方向相反,其中N是正向力,μ是摩擦係數。然而,在一個動態問題中,物體滑動量為0時受到的摩擦力可以是相應的受力平面內的小於等於μN任意的力,在這種情形下表示摩擦力與物體的位置、速度的函數關係就需要採用多值函數。

理論

現有的關於微分包含式的理論通常假定 F(tx) 是關於 x 的「上半側連續」函數,t可測,且 F(tx) 對於所有的xt都是閉合的凸集

在以上假定的條件下,有關於初值問題:

  在充分小的時間間隔[t0t0 + ε), ε > 0 內

的解的存在定理。若對F作進一步約束,可以得到全局狀況下的解的存在定理 (  as   for a finite  )。

F(tx) 是非凸的集合時,相應的微分包含式的解的存在定理是目前的一個研究熱點。

應用

微分包含式可以被適宜地理解為非連續的常微分方程,它出現在力學系統中對動態摩擦力的研究,以及電力電子領域中對理想開關的研究等。

參見