截面曲率
在黎曼幾何中,截面曲率是描述黎曼流形的曲率的一種方式。截面曲率 依賴於p點的切空間裏的一個二維平面 。它就定義為該截面,考慮在 p 點以平面 作為切平面的曲面 ,這曲面是收集流形中某包含 的鄰域內從 p 點出發的測地線且這測地線在 點的切向量屬於截面 (換句話說就是 其中 是 里包含原點的鄰域),而截面曲率 就是曲面 在 點的高斯曲率。形式上,截面曲率是流形上的2維格拉斯曼纖維叢的光滑實值函數。
截面曲率完全決定了曲率張量,是非常有用的幾何概念。
定義
設 M 為黎曼流形,σ 為 M 上 p 點處切空間中的二維平面,u 和 v 為 σ 中兩個線性無關的向量。 則關於 σ 的截面曲率定義為
其中 R 是 M 的黎曼曲率張量。
常截面曲率流形
常截面曲率的黎曼流形是最簡單的類型。它們稱為空間形式。通過縮放度量,它們有三種情況
三類幾何的模型流形分別是雙曲空間,歐幾里得空間和單位球面。它們是對於這些給定的截面曲率唯一可能的完備單連通黎曼流形,所有其它常曲率流形是它們在某個等距映射群下的商。