斯科特域

數學領域序理論域理論中,斯科特域Scott domain)是代數有界完全完全偏序。它得名於達納·斯科特,他首先在域理論中研究了這些結構。斯科特域密切關係於代數格,不同之處只是缺乏最大元

形式定義

形式的說,偏序集合 (D, ≤) 叫做斯科特域,如果下列成立:

性質

因為空集當然有上界,我們從有界完全性得出最小元(空界的上確界)的存在性。還要注意儘管術語 "斯科特域"廣泛的用於這個定義,術語"域"沒有一般性意義: 它可以用於稱呼在域理論中的很多結構並通常在使用前作出解釋。但是,"域"確實是 斯科特自己最初用於這些結構的。此外,在某些出版物中 斯科特域常以其他名字如"代數半格"出現。

應當記住有界完全的性質等價於所有非空下確界的存在性。周知所有下確界的存在性蘊涵了所有上確界的存在性,並因此使偏序集合成為完全格。因此,當頂元素(空集的下確界)被連接(adjoin)到 斯科特域,可以得出:

  1. 新頂元素是緊緻的(因為次序以前是有向完全的),
  2. 結果的偏序集合將是代數格

反過來,斯科特域在一定意義上"幾乎"就是代數格。

斯科特域密切相關於斯科特信息系統,它組成了斯科特域的"語法"表示。

例子

  • 所有有限偏序集合是有向完全和代數的。因此任何有界完全有限偏序集合很平常的就是斯科特域。
  • 自然數集帶補充的頂元素 ω 構成了代數格,因此也是斯科特域。在此方面的更多例子請參見代數格
  • 考慮在字母表 {0,1} 的所有有限和無限的字的集合,按在字上的前綴序排序。所以,字 w 小於某個字 v,如果 wv 的一個前綴,就是說,如果有某個(有限或無限) 字 v' 使得 w v' = v。例如 10 ≤ 10110。空字是這個次序的底元素,而容易看出所有有向集合(總是)有上確界。類似的,你可以立即驗證有界完全性。但是,結果的偏序集合當然缺乏頂元素而有很多極大元素(如 111... or 000...)。它也是代數的,因為所有有限字是緊緻的,當然可以從有限字的鏈逼近無限字。因此這是斯科特域而不是代數格。
  • 作為反例,考慮在區間 [0,1] 內的實數,按自然次序排序。這個有界完全 cpo 不是代數的,實際上它只有一個緊緻元素 0。

文獻

參見域理論中的文獻。

參見